Свойства логарифмов — Гипермаркет знаний

KNOWLEDGE HYPERMARKET

Свойства логарифмов

 		Версия 06:01, 28 сентября 2010 (просмотреть исходный код)
User9  (Обсуждение | вклад)
← Предыдущая правка
		Текущая версия на 19:39, 6 августа 2012 (просмотреть исходный код)
User17  (Обсуждение | вклад) 
 
		
(2 промежуточные версии не показаны)
Строка 1:
Строка 1:
- '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]&gt;&gt;Математика: Свойства логарифмов<metakeywords>Свойства логарифмов</metakeywords>'''   + <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс,  урок, на Тему, Свойства логарифмов, Понятие логарифма, степень</metakeywords> 
  +  
  + '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]&gt;&gt; Свойства логарифмов'''  
  
 <br>    <br>  
  
- '''&nbsp;СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ'''<br>B предыдущих параграфах мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию, изучили свойства функции у=log<sub>a</sub>x, построили ее график. Но, чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя степени, мы ими уже пользовались:   + '''Свойства логарифмов'''  
  +  
  + <br>B предыдущих параграфах мы ввели понятие '''[[Понятие логарифма|логарифма]]''' положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию, изучили свойства функции у=log<sub>a</sub>x, построили ее график. Но, чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя '''[[Свойства степени с натуральным показателем|степени]]''', мы ими уже пользовались:  
  +  
  + [[Image:Qw385.jpg|180px|Формула]]<br>'''Теорема 1.''' Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: 
  +  
  + [[Image:Qw386.jpg|180px|Формула]]<br>Например, 
  +  
  + [[Image:Qw387.jpg|320px|Задание]] 
  +  
  + '''Доказательство.''' Введем следующие обозначения:
  +  
  + [[Image:Qw388.jpg|240px|Задание]]. 
  +  
  + Нам надо доказать, что выполняется равенство х = у+z. 
  +  
  + [[Image:Qw389.jpg|240px|Задание]]
  +  
  + <br>Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней: у+z = х, что и требовалось доказать.&nbsp;&nbsp; 
  +  
  + Приведем краткую запись доказательства теоремы.
  +  
  + <br>[[Image:Qw390.jpg|480px|Таблица]]
  +  
  + <br>'''Замечания: 1.''' Математики считают, что теорему 1 можно не доказывать. Ведь что такое логарифм, спрашивают они. И отвечают: логарифм — это показатель степени. А что делается с показателями степеней при умножении? Они складываются. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов. Вот в чем состоит содержательный смысл теоремы 1.
  +  
  + '''2.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.
  +  
  + Например,
  +  
  + [[Image:Qw391.jpg|320px|Задание]]
  +  
  + <br>'''3.&nbsp;'''&nbsp;&nbsp; Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию «если.. .то» (как принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а,Ь и с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]]то справедливо равенство 
  +  
  + [[Image:Qw393.jpg|180px|Задание]]. 
  +  
  + Следующую теорему мы именно так и оформим.
  +  
  + <br>'''Теорема 2. '''Если а,b с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]], то справедливо равенство:
  +  
  + [[Image:Qw394.jpg|180px|Равенство]]
  +  
  + Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм '''[[Основное свойство алгебраической дроби|дроби]]''' равен разности логарифмов числителя и знаменателя.<br>Например, 
  +  
  + [[Image:Qw395.jpg|320px|Задание]]
  +  
  + <br>'''Доказательство. '''Мы приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1, а также дать содержательное истолкование теоремы 2 подобно тому, как это сделано в замечании 1. 
  
- [[Image:Qw385.jpg]]<br>'''Теорема 1.''' Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:  
  
- [[Image:Qw386.jpg]]<br>'''Например''',  
  
- [[Image:Qw387.jpg]]   + [[Image:Qw396.jpg|480px|Таблица]]
  
- '''Доказательство.''' Введем следующие обозначения: [[Image:Qw388.jpg]]. Нам надо доказать, что выполняется равенство х = у+z. + <br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Перевод на более простой язык&nbsp;&nbsp;&nbsp; Доказательство<br>'''Теорема 3. '''Если а,Ь — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]], то для любого числа г справедливо равенство: 
  
- [[Image:Qw389.jpg]]<br>Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней: у+z = х, что и требовалось доказать.&nbsp;&nbsp; <br>Приведем краткую запись доказательства теоремы.<br>[[Image:Qw390.jpg]]<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Перевод на более простой язык&nbsp;&nbsp;&nbsp; Доказательство<br>'''Замечания: 1.''' Математики считают, что теорему 1 можно не доказывать. Ведь что такое логарифм, спрашивают они. И отвечают: логарифм — это показатель степени. А что делается с показателями степеней при умножении? Они складываются. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов. Вот в чем состоит содержательный смысл теоремы 1.<br>'''2.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.<br>Например, [[Image:Qw391.jpg]]<br>'''3.&nbsp;'''&nbsp;&nbsp; Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию «если.. .то» (как принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а,Ь и с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]]то справедливо равенство [[Image:Qw393.jpg]]. Следующую теорему мы именно так и оформим.<br>'''Теорема 2. '''Если а,b с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]], то справедливо равенство:<br>[[Image:Qw394.jpg]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.<br>Например, + [[Image:Qw397.jpg|180px|Формула]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
  
- [[Image:Qw395.jpg]]<br>'''Доказательство. '''Мы приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1, а также дать содержательное истолкование теоремы 2 подобно тому, как это сделано в замечании 1. + Например,
  
- [[Image:qw396.jpg]]<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Перевод на более простой язык&nbsp;&nbsp;&nbsp; Доказательство<br>'''Теорема 3. '''Если а,Ь — положительные числа, причем [[Image:qw392.jpg]], то для любого числа г справедливо равенство: + <br>[[Image:Qw398.jpg|240px|Задание]]
  
- [[Image:qw397.jpg]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.<br>Например,<br>[[Image:qw398.jpg]]<br>'''Доказательство.''' Приведем краткую запись доказательства, а вы, как и при доказательстве теоремы 2, попробуйте сделать соответствующие комментарии по аналогии с теоремой 1 и замечанием 1. + <br>'''Доказательство.''' Приведем краткую запись доказательства, а вы, как и при доказательстве теоремы 2, попробуйте сделать соответствующие комментарии по аналогии с теоремой 1 и замечанием 1.  
  
- [[Image:qw399.jpg]]<br><br> + [[Image:Qw399.jpg|480px|Таблица]]<br><br>  
  
- А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс   + ''А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс''
  
 <br>    <br>  
  
- <sub>Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]</sub>   + <br> <br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика в школе [[Математика|скачать]]</sub>  
  
   '''<u>Содержание урока</u>'''    '''<u>Содержание урока</u>'''
Текущая версия на 19:39, 6 августа 2012
 
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Свойства логарифмов 

 
Свойства логарифмов 

B предыдущих параграфах мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию, изучили свойства функции у=log_ax, построили ее график. Но, чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя степени, мы ими уже пользовались: 

Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: 

Например, 
 
Доказательство. Введем следующие обозначения:
. 
Нам надо доказать, что выполняется равенство х = у+z. 


Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней: у+z = х, что и требовалось доказать.   
Приведем краткую запись доказательства теоремы.



Замечания: 1. Математики считают, что теорему 1 можно не доказывать. Ведь что такое логарифм, спрашивают они. И отвечают: логарифм — это показатель степени. А что делается с показателями степеней при умножении? Они складываются. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов. Вот в чем состоит содержательный смысл теоремы 1.
2.    Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.
Например,


3.    Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию «если.. .то» (как принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а,Ь и с — положительные числа, причем то справедливо равенство 
. 
Следующую теорему мы именно так и оформим.

Теорема 2. Если а,b с — положительные числа, причем , то справедливо равенство:

Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.
Например, 


Доказательство. Мы приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1, а также дать содержательное истолкование теоремы 2 подобно тому, как это сделано в замечании 1. 




Подготовка к доказательству (введение новых переменных)    Перевод на более простой язык    Доказательство
Теорема 3. Если а,Ь — положительные числа, причем , то для любого числа г справедливо равенство: 

Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
Например,



Доказательство. Приведем краткую запись доказательства, а вы, как и при доказательстве теоремы 2, попробуйте сделать соответствующие комментарии по аналогии с теоремой 1 и замечанием 1. 


 
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

 

 
 _{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать} 

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки



 
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. 
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%BE%D0%B2»
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]&gt;&gt;Математика: Свойства логарифмов<metakeywords>Свойства логарифмов</metakeywords>'''
+<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс,  урок, на Тему, Свойства логарифмов, Понятие логарифма, степень</metakeywords>
+'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]&gt;&gt; Свойства логарифмов'''
 <br>
-'''&nbsp;СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ'''<br>B предыдущих параграфах мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию, изучили свойства функции у=log<sub>a</sub>x, построили ее график. Но, чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя степени, мы ими уже пользовались:
+'''Свойства логарифмов'''
+<br>B предыдущих параграфах мы ввели понятие '''[[Понятие логарифма|логарифма]]''' положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию, изучили свойства функции у=log<sub>a</sub>x, построили ее график. Но, чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя '''[[Свойства степени с натуральным показателем|степени]]''', мы ими уже пользовались:
+[[Image:Qw385.jpg|180px|Формула]]<br>'''Теорема 1.''' Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:
+[[Image:Qw386.jpg|180px|Формула]]<br>Например,
+[[Image:Qw387.jpg|320px|Задание]]
+'''Доказательство.''' Введем следующие обозначения:
+[[Image:Qw388.jpg|240px|Задание]].
+Нам надо доказать, что выполняется равенство х = у+z.
+[[Image:Qw389.jpg|240px|Задание]]
+<br>Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней: у+z = х, что и требовалось доказать.&nbsp;&nbsp;
+Приведем краткую запись доказательства теоремы.
+<br>[[Image:Qw390.jpg|480px|Таблица]]
+<br>'''Замечания: 1.''' Математики считают, что теорему 1 можно не доказывать. Ведь что такое логарифм, спрашивают они. И отвечают: логарифм — это показатель степени. А что делается с показателями степеней при умножении? Они складываются. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов. Вот в чем состоит содержательный смысл теоремы 1.
+'''2.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.
+Например,
+[[Image:Qw391.jpg|320px|Задание]]
+<br>'''3.&nbsp;'''&nbsp;&nbsp; Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию «если.. .то» (как принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а,Ь и с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]]то справедливо равенство
+[[Image:Qw393.jpg|180px|Задание]].
+Следующую теорему мы именно так и оформим.
+<br>'''Теорема 2. '''Если а,b с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]], то справедливо равенство:
+[[Image:Qw394.jpg|180px|Равенство]]
+Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм '''[[Основное свойство алгебраической дроби|дроби]]''' равен разности логарифмов числителя и знаменателя.<br>Например,
+[[Image:Qw395.jpg|320px|Задание]]
+<br>'''Доказательство. '''Мы приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1, а также дать содержательное истолкование теоремы 2 подобно тому, как это сделано в замечании 1.
-[[Image:Qw385.jpg]]<br>'''Теорема 1.''' Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:
-[[Image:Qw386.jpg]]<br>'''Например''',
-[[Image:Qw387.jpg]]
+[[Image:Qw396.jpg|480px|Таблица]]
-'''Доказательство.''' Введем следующие обозначения: [[Image:Qw388.jpg]]. Нам надо доказать, что выполняется равенство х = у+z.
+<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Перевод на более простой язык&nbsp;&nbsp;&nbsp; Доказательство<br>'''Теорема 3. '''Если а,Ь — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]], то для любого числа г справедливо равенство:
-[[Image:Qw389.jpg]]<br>Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней: у+z = х, что и требовалось доказать.&nbsp;&nbsp; <br>Приведем краткую запись доказательства теоремы.<br>[[Image:Qw390.jpg]]<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Перевод на более простой язык&nbsp;&nbsp;&nbsp; Доказательство<br>'''Замечания: 1.''' Математики считают, что теорему 1 можно не доказывать. Ведь что такое логарифм, спрашивают они. И отвечают: логарифм — это показатель степени. А что делается с показателями степеней при умножении? Они складываются. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов. Вот в чем состоит содержательный смысл теоремы 1.<br>'''2.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.<br>Например, [[Image:Qw391.jpg]]<br>'''3.&nbsp;'''&nbsp;&nbsp; Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию «если.. .то» (как принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а,Ь и с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]]то справедливо равенство [[Image:Qw393.jpg]]. Следующую теорему мы именно так и оформим.<br>'''Теорема 2. '''Если а,b с — положительные числа, причем [[Image:Qw392.jpg]], то справедливо равенство:<br>[[Image:Qw394.jpg]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.<br>Например,
+[[Image:Qw397.jpg|180px|Формула]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
-[[Image:Qw395.jpg]]<br>'''Доказательство. '''Мы приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1, а также дать содержательное истолкование теоремы 2 подобно тому, как это сделано в замечании 1.
+Например,
-[[Image:qw396.jpg]]<br>Подготовка к доказательству (введение новых переменных)&nbsp;&nbsp;&nbsp; Перевод на более простой язык&nbsp;&nbsp;&nbsp; Доказательство<br>'''Теорема 3. '''Если а,Ь — положительные числа, причем [[Image:qw392.jpg]], то для любого числа г справедливо равенство:
+<br>[[Image:Qw398.jpg|240px|Задание]]
-[[Image:qw397.jpg]]<br>Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.<br>Например,<br>[[Image:qw398.jpg]]<br>'''Доказательство.''' Приведем краткую запись доказательства, а вы, как и при доказательстве теоремы 2, попробуйте сделать соответствующие комментарии по аналогии с теоремой 1 и замечанием 1.
+<br>'''Доказательство.''' Приведем краткую запись доказательства, а вы, как и при доказательстве теоремы 2, попробуйте сделать соответствующие комментарии по аналогии с теоремой 1 и замечанием 1.
-[[Image:qw399.jpg]]<br><br>
+[[Image:Qw399.jpg|480px|Таблица]]<br><br>
-А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
+''А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс''
 <br>
-<sub>Материалы по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике [[Математика|скачать]]</sub>
+<br> <br> <sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика в школе [[Математика|скачать]]</sub>
   '''<u>Содержание урока</u>'''

Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки

© Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний - Владимир Спиваковский

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: