Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Свойства степени с натуральным показателем

                    Свойства степени с натуральным показателем

Большая часть математических утверждений проходит в своем становлении три этапа.

На первом этапе человек в ряде конкретных случаев подмечает одну и ту же закономерность.
На втором этапе он пытается сформулировать  подмеченную закономерность в общем виде, т.е. предполагает, что эта закономерность действует не только в рассмотренных случаях, но и во всех других аналогичных случаях.
На третьем этапе он пытается доказать, что закономерность, сформулированная (гипотетически) в общем виде, на самом деле верна.

Доказать какое-либо утверждение — это значит объяснить, почему оно верно (объяснить убедительно, а не так: «это верно потому, что это верно»). При доказательстве можно ссылаться только на уже известные факты.

Давайте попытаемся вместе пройти все три этапа, попробуем открыть, сформулировать и доказать свойства степеней.

                                    Открытие первое

Пример 1. Вычислить: a) 2³. 2⁵; б) 3¹ . 3⁴. 

Р е ш е н и е. а) Имеем:

Всего имеется 8 одинаковых множителей, каждый из которых равен 2, т. е. 2⁸ , что по таблице (см. § 5) дает 256.

б) Имеем:


Ответ: а) 256; b) 243.

В процессе решения примера мы заметили, что

Наблюдается закономерность: основания перемножаемых степеней одинаковы, при этом показатели складываются. Первый этап завершен.

На второем этапе осмелимся предположить, что мы открыли общую закономерность:

aⁿ . a^k = a^n+k

Поскольку в нашем курсе мы первый раз встретились со словом «теорема», давайте немного поговорим о том, что оно означает.

Теоремой обычно называют утверждение, спраk вежливость (истинность, верность) которого устащ навливается с помощью строгого обоснования, доказательства.

Теорема состоит из условия, т.е. из того, что дано, что имеется в наличии, и заключения — того, что нужно доказать. В теореме 1 даны произвольное число а и два натуральных числа пик — это условие. А требуется доказать, что выполняется равенство

aⁿ . a^k = a^n+k — это заключение теоремы.

Обычно теорему формулируют так: если ... (условие), то ... (заключение). Например, теорему 1 можно (и, честно говоря, так было бы аккуратнее) сформулировать следующим образом:

На третьем этапе надо доказать, что наше предположение верно, т. е. доказать теорему 1. Сделаем это и мы — доказательство приведено ниже. Прочитайте его. Если чувствуете в себе силы, то попытайтесь разобраться в нем (оно состоит в том, что мы трижды используем определение степени с натуральным показателем); если же нет — ограничьтесь прочтением.

Доказательство.

Теорема доказана.

Итак, первое открытие у нас состоялось. Идем дальше.

                                                      Открытие второе

Пример 2. Вычислить:  a) 2⁶ : 2⁴; б) 3⁸ : 3⁵. 

Решение, а) Запишем частное в виде дроби и сократим ее:

Ответ:a) 4; b) 27.

Наблюдается закономерность: основания делимого и делителя одинаковы, показатель делимого больше, чем показатель делителя, при этом из показателя делимого вычитается показатель делителя. Первый этап завершен. На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность:

aⁿ :a^k = a^n-k, если n > k. 

Можете ли вы сформулировать теорему 2 иначе, используя грамматическое построение «если ..., то ...»? Видите ли вы, где в этой теореме условие, а где заключение? Ответьте для себя на эти вопросы (а наш ответ будет приведен после доказательства теоремы).

Доказательство. Рассмотрим произведение a ^n-k . a^k. Мы знаем, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются (об этом шла речь в теореме 1).

Сложив показатели n - k и k, получим (n - k) + к = n.
Итак, a ^n-k . a^k   = aⁿ , а это как раз и означает, что  aⁿ: a^k = a^n-k 

Теорема доказана.

А теперь иначе сформулируем теорему 2:

Условие теоремы: ; n, k — натуральные числа, n >k.
Заключение теоремы: aⁿ : a^k = a^n-k
Второе открытие у нас состоялось. Идем дальше.

                                             Открытие третье

Наблюдается закономерность: в обоих случаях при возведении степени в степень показатели перемножались. Первый этап завершен.
На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность:  (aⁿ)^k = a^nk.  
Теорема 3.

Доказательство теоремы (третий этап мы приводим в самом конце параграфа (пока ограничимся доказательствами теорем 1 и 2. Если есть желание, попытайтесь сами (или с помощью учителя) доказать ее.

Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к трем серьезным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее формулировать в виде трех правил, которые полезно запомнить.

Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. Почувствовали разницу? В теоремах все четко, все оговорено, все предусмотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, легкость мысли, поэтому они легче запоминаются и воспринимаются; правила похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей математического языка: наряду с серьезными отточенными формулировками используются и краткие афористичные правила с пропусками слов.

Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушателей речью, обязательно в конце доклада еще раз выделит самое главное, самое важное. У нас с вами была очень трудная и напряженная работа, давайте же и мы выделим самое главное.

Самое главное — три формулы,

Их можно применять как справа налево, так и слева направо. Например,

Замечание. Мы говорили только об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями. А вот об их сложении и вычитании ничего неизвестно, так что не сочиняйте новых правил. Нельзя, например, заменять сумму

2⁴ + 2³ на 2⁷; в самом деле, посчитайте: 2⁴ = 16;

В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3.

Имеем:

_{Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике онлайн, видеоматериал по математике для 7 класса скачать}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.