Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Понятие логарифма

§ 48. Понятие логарифма

Рассмотрим уравнение 2^х =4, решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = 2 ^х и прямую у = 4(рис. 213). Они пересекаются в точкеА(2; 4), значит, х-2 — единственный корень уравнения.

Рассуждая точно так же, находим корень уравнения 2^х =8 (см. рис. 213): х = 3.

А теперь попробуем решить уравнение 2 ^х =6; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 213. Ясно, что уравнение имеет один корень, но в отличие от предыдущих случаев, где корни уравнений были найдены без труда (причем их очень легко было найти и не пользуясь графиками), с уравнением 21 = 6 у нас возникают трудности: по чертежу мы не можем определить значение корня, можем только установить, что этот корень заключен в промежутке от 2 до 3.

С подобной ситуацией мы уже встречались в § 39, когда, решая уравнение х⁴ = 5, поняли, что надо вводить новый символ математического языка  Обдумывая ситуацию с показательным уравнением 2^х =6, математики ввели в рассмотрение новый символ log₂, который назвали логарифмом по основанию 2 и с помощью этого символа корень уравнения 2^х =6 записали так: х =log₂ 6 (читается: «логарифм числа 6 по основанию 2»). Теперь для любого уравнения вида 2х =Ь, где 6 >0, можно найти корень — им будет число log₂ b (рис. 214).

Мы говорили об уравнении 2^х =6. С равным успехом мы могли говорить и об уравнении 3^x =5, и об уравнении 10^x =0,3 и об уравнении , и вообще о любом уравнении вида a^x=b, где а и b —
положительные числа, причем а^x 1. Единственный корень уравнения а^х =Ъ математики договорились записывать так:

x=log₅b (читается: «логарифм числа b по основанию а»).
Кстати, вернемся к уравнению которое встретилось нам в примере 4 § 46 и которое мы не смогли решить. Теперь ответ ясен:
Определение. Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Например,

Особо выделим три формулы (попробуйте их обосновать, это очень просто):

Для числа log₂ 6, которое встретилось нам в начале параграфа, точного рационального значения мы указать не можем, поскольку log₂ 6 — иррациональное число. Доказывается это довольно красиво.

Предположим, что log₂6 рациональное число, т.е. что
Последнее равенство невозможно, поскольку его правая часть есть целое число, которое делится без остатка на 3, а левая часть делиться без остатка на 3 никак не может.

Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и, следовательно, log₂ 6 — иррациональное число.   

Мы дали определение логарифма на обычном языке, а теперь приведем то же определение на языке символов:

В самом деле, что надо подставить вместо x в равенство а^x =b? Какое число должно находиться в показателе степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b? Ответ следует из данного выше определения: этим показателем является log_а b. Значит, вместо * надо подставить число log_а b, что мы и сделали.

Например,

Подчеркнем, что log_аЬ=с и а^с =b — одна и та же математическая модель (одна и та же зависимость между числами а, b и с), но только вторая описана на более простом языке (использует более простые символы), чем первая.

Операцию нахождения логарифма числа обычно называют логарифмированием. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием. Сравните:

Вычисление значения логарифма сводится, как правило, к решению некоторого показательного уравнения.
Пример.

Вычислить:

Решение. а) Положим: log⁴128 = x. Тогда по определению логарифма 4^x =128. Решая это показательное уравнение, последовательно находим:

22^x =27, 2^х = 7, х=3,5.

б)    Положим: Решая это показательное уравнение, последовательно находим:

в)    Положим:

Решая это показательное уравнение, последовательно находим:

Логарифм по основанию 10 обычно называют десятичным логарифмом. Так, log₁₀ 5, log₁₀ 3,4 — десятичные логарифмы. Вместо символа log₁₀ принято использовать символ так, вместо log₁₀ 5 пишут 5, а вместо log ₁₀ 3,4 пишут 3,4. В недалеком прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение; опираясь на особенности принятой десятичной системы счисления, составляли весьма подробные таблицы десятичных логарифмов, наносили на шкалы специальных логарифмических линеек. В эпоху всеобщей компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою ведущую роль, более важны стали логарифмы по основанию 2, но особенно широко используются в математике и технике логарифмы, основанием которых служит особое число е (такое же знаменитое, как число п); с этим числом мы познакомимся позднее (в § 54).

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.