Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Основное свойство алгебраической дроби

Основное свойство алгебраической дроби

Вам известно, что значение обыкновенной дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Например:   (и числитель и знаменатель мы одновременно умножили на одно и то же число 4; значение дроби не изменилось); (и числитель и знаменатель мы одно временно разделили на одно и то же число 11; значение дроби не определенном смысле обобщение обыкновенной дроби; над алгебраическими дробями можно осуществлять преобразования, аналогичные тем, которые мы только что указали для обыкновенных дробей. Эти преобразования можно описать так:

1. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование заданной алгебраической дроби.

2. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно разделить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование заданной алгебраической дроби, его называют сокращением алгебраической дроби.

Сформулированные правила представляют собой основное свойство алгебраической дроби.
Пользуясь основным свойством алгебраической дроби, можно дробь — заменить (если, конечно, в этом есть необходимость) дробью (числитель и знаменатель одновременно умножили на х - 2) или дробью (числитель и знаменатель одновременно умножили на 2х). Напротив, пользуясь основным свойством алгебраической дроби, можно заменить дробь   более простой дробью — (числитель и знаменатель одновременно разделили на 2х, т. е. сократили дробь).

Пример. Преобразовать заданные дроби так, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями:

Р е ш е н и е. а) Имеем:

Дроби приведены к одинаковому знаменателю (обычно говорят «к общему знаменателю»). Для этого пришлось числитель и знаменатель первой дроби умножить на дополнительный множитель 5, а числитель и знаменатель второй дроби — на дополнительный множитель 3; сделать это позволяет основное свойство дроби.

б) Имеем

Дроби приведены к общему знаменателю 12b³ с помощью дополнительных множителей соответственно 3b и 2.

в) Имеем

Дроби приведены к общему знаменателю х² - у² с помощью дополнительных множителей соответственно х - у и х + у.

Приводя в этом примере алгебраические дроби к общему знаменателю, мы заменяли одну алгебраическую дробь другой дробью, тождественно равной первой. Однако если при сокращении дроби мы ее упрощаем, то в рассмотренном примере каждая дробь заменялась более сложной. Наверное у вас возник вопрос: а нужно ли такое «усложняющее» преобразование?

Оказывается, нужно, и в этом мы с вами скоро убедимся.

С основным свойством алгебраической дроби связаны правила изменения знаков у числителя и знаменателя. Так, имеет место равенство здесь числитель и знаменатель первой дроби мы одновременно умножили на одно и то же число - 1.

Если же изменить знаки только в числителе или только в знаменателе, то следует изменить знак и перед дробью:

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{онлайн библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.