Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Функция у = k/x, ее свойства и график
Функция у = k/x, ее свойства и график
В этом параграфе мы познакомимся с новой функцией — функцией Коэффициент k может принимать любые значения, кроме k = 0. Рассмотрим сначала случай, когда k = 1; таким образом, сначала речь пойдет о функции .
Чтобы построить график функции , поступим так же, как и в предыдущем параграфе: дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим (по формулe ) соответствующие значения зависимой переменной у. Правда, на этот раз удобнее проводить вычисления и построения постепенно, сначала придавая аргументу только положительные значения, а затем — только отрицательные.
Первый этап. Если х = 1, то у = 1 (напомним, что мы пользуемся формулой );

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

Второй этап.

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:
А теперь объединим два этапа в один, т. е. из двух рисунков 24 и 26 сделаем один (рис. 27). Это и есть график функции его называют гиперболой. Попробуем по чертежу описать геометрические свойства гиперболы.
Во-первых, замечаем, что эта линия выглядит так же красиво, как парабола, поскольку обладает симметрией. Любая прямая, проходящая через начало координат О и расположенная в первом и третьем координатных углах, пересекает гиперболу в двух точках, которые лежат на этой прямой по разные стороны от точки О, но на равных расстояниях от нее (рис. 28). Это присуще, в частности, точкам (1; 1) и (- 1; - 1),
и т. д.Значит - О центр симметрии гиперболы. Говорят также, что гипербола симметрична относительно начала координат.
Во-вторых, видим, что гипербола состоит из двух симметричных относительно начала координат частей; их обычно называют ветвями гиперболы.

В-третьих, замечаем, что каждая ветвь гиперболы в одном направлении подходит все ближе и ближе к оси абсцисс, а в другом направлении — к оси ординат. В подобных случаях соответствующие прямые называют асимптотами.
Значит, график функции , т.е. гипербола, имеет две асимптоты: ось х и ось у.
Если внимательно проанализировать построенный график, то можно обнаружить еще одно геометрическое свойство, не такое очевидное, как три предыдущих (математики обычно говорят так: «более тонкое свойство»). У гиперболы имеется не только центр симметрии, но и оси симметрии.
В самом деле, построим прямую у = х (рис. 29). А теперь смотрите: точки расположены по разные стороны от проведенной прямой, но на равных расстояниях от нее. Они симметричны, относительно этой прямой. Тоже можно сказать о точках , где, конечно Значит, прямая y =x - ось симетрии гиперболы ( равно как и y = -x)
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции а) на отрезке ; б) на отрезке [- 8, - 1]. Решение, а) Построим график функции и выделим ту его часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка (рис. 30). Для выделенной части графика находим:
б) Построим график функции и выделим ту его часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [- 8, - 1] (рис. 31). Для выделенной части графика находим:

Итак, мы рассмотрели функцию для случая, когда k= 1. Пусть теперь k — положительное число, отличное от 1, например k = 2.
Рассмотрим функцию и составим таблицу значений этой функции:

Построим точки (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1),  
на координатной плоскости (рис. 32). Они намечают некоторую линию, состоящую из двух ветвей; проведем ее (рис. 33). Как и график функции , эту линию называют гиперболой.
Рассмотрим теперь случай, когда k < 0; пусть, например, k = - 1. Построим график функции (здесь k = - 1).

В предыдущем параграфе мы отметили, что график функции у = -f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси х. В частности, это значит, что график функции y = - f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси x. В частности, это значит, что график функции , симетричен графику односительно оси абсцисс ( рис. 34) Таким образом, мы получим гиперболу, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных углах.

Вообще, графиком функции является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах, если k > 0 (рис. 33), и во втором и четвертом координатных углах, если k < О (рис. 34). Точка (0; 0) — центр симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы.
Обычно говорят, что две величины х и у обратно пропорциональны, если они связаны соотношением ху = k (где k — число, отличное от 0), или, что то же самое, . По этой причине функцию называют иногда обратной пропорциональностью (по аналогии с функцией у - kx, которую, как вы, наверное, помните, называют прямой пропорциональностью); число k — коэффициент обратной пропорциональности.
Свойства функции при k > 0
Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель— гиперболу (см., рис. 33).
1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.
2. у > 0 при х>0;у<0 при х<0.
3. Функция убывает на промежутках (-°°, 0) и (0, +°°).
4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции
6. Функция непрерывна на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо) и претерпевает разрыв при х = 0.
Свойства функции при k < 0 Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель — гиперболу (см. рис. 34).
1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.
2. у > 0 при х < 0; у < 0 при х > 0.
3. Функция возрастает на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо).
4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.
6. Функция непрерывна на промежутках (-оо, 0) и (0, +оо) и претерпевает разрыв при х = 0.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. 1) Рассмотрим две функции: и у = 5 - х. 2) Построим график функции гиперболу (рис. 35). 3) Построим график линейной функции Это — прямая, ее можно построить по двум точкам (0; 5) и (5; 0). Она изображена на том же чертеже (рис. 35).
 4) По чертежу устанавливаем, что гипербола и прямая пересекаются в точках А (1; 4) и В (4; 1). Проверка показывает, что это на самом деле так.
Значит, данное уравнение имеет два корня: 1 и 4 — это абсциссы точек А и Б.
Ответ: 1,4.
Пример 3. Построить и прочитать график функции у = f(x), где
Решение. Построение графика, как обычно в таких случаях, осуществим «по кусочкам». Сначала построим параболу у = - х2 и выделим ее часть на отрезке [- 2, 1] (рис. 36).
Затем построим гиперболу у и выделим ее часть на открытом луче (1, +оо) (рис. 37). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат — получим график функции у = f(x) (рис. 38).
 Перечислим свойства функции у = f(x), т.е. прочитаем график.
1. Область определения функции — луч [-2, +оо).
2. у = 0 при х = 0; у < 0 при - 2 < д; < 0 и при я > 0.
3. Функция возрастает на промежутке [-2, 0] и [1, +оо), убывает на отрезке [0, 1].
4. Функция ограничена и снизу и сверху.
5. унаим = - 4 (достигается при х = - 2); yнаиб = 0 (достигается при х = 0).
6. Функция непрерывна в заданной области определения.
(И В заключение рассмотрим пример, считающийся достаточно сложным.

Значит, f(x - 3) - f(x + 2) = 2,5f (х - 3) . f(х + 2), что и требовалось доказать.
Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.
Видео по математикескачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн
Содержание урока
конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|