Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика:Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

Теорема 17.3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Доказательство. Пусть а₁ и а₂ — две параллельные прямые и — плоскость, перпендикулярная прямой  а₁ (рис. 358). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а₂.

Проведем через точку A₂ пересечения прямой а₂ с плоскостью произвольную прямую x₂ в плоскости . Проведем в плоскости через точку А пересечения прямой а с прямую х1, параллельную прямой х₂. Так как прямая а, перпендикулярна плоскости , то прямые а и х перпендикулярны. А по теореме 17.1 параллельные им пересекающиеся прямые а₂ и х₂ тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а, перпендикулярна любой прямой х, в плоскости . А это значит, что прямая а₂ перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.

 
Задача (12). Докажите, что через любую точку А можно  провести   прямую,   перпендикулярную  данной плоскости .

Решение. Проведем в плоскости две пересекающиеся прямые b и с (рис. 359). Через точку их пересечения проведем плоскости и , перпендикулярные прямым b и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым b и с, значит, и плоскости . Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 17.3 она перпендикулярна плоскости .

Теорема 17.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Доказательство. Пусть а пендикулярные плоскости (рис. 360).   Допустим,   что   прямые   а и b не параллельны.

Выберем на прямой b точку С, не лежащую в плоскости . Проведем через точку С прямую b', параллельную прямой а. Прямая b' перпендикулярна плоскости (теорема 17.3). Пусть В и В' — точки пересечения прямых b и b' с плоскостью . Тогда прямая ВВ' перпендикулярна пересекающимся прямым b и b'. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.