Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика:Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема 17.5. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Доказательство. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости , АС — наклонная и с — прямая в плоскости , проходящая через основание С наклонной (рис. 363). Проведем прямую СА', параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости . Проведем через прямые АВ и А'С плоскость . Прямая с перпендикулярна прямой СА'. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой АС.

Аналогично если прямая с перпендикулярна наклонной СА, то она, будучи перпендикулярна и прямой СА', перпендикулярна плоскости , а значит, и проекции наклонной ВС. Теорема доказана.

 
 
Задача (45). Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Решение. Пусть А, В, С — точки касания сторон треугольника с окружностью, О — центр окружности и S — точка на перпендикуляре (рис. 364). Так как радиус OA перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трех перпендикулярах отрезок SA есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина — расстояние от точки S до стороны треугольника. По теореме Пифагора

SA  = где r — радиус вписанной окружности. Аналогично находим   

SB =  т. е. все расстояния от точки S до сторон  треугольника равны.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.