Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Что означает в математике запись у = f(x)

         Что означает в математике запись  у = f(x)

Изучая какой-либо реальный процесс, обычно обращают внимание на две величины, участвующие в процессе (в более сложных процессах участвуют не две величины, а три, четыре и т.д., но мы пока такие процессы не рассматриваем): одна из них меняется как бы сама по себе, независимо ни от чего (такую переменную мы обозначили буквой х), а другая величина принимает значения, которые зависят от выбранных значений переменной х (такую зависимую переменную мы обозначили буквой у). Математической моделью реального процесса как раз и является запись на математическом языке зависимости у от х, т.е. связи между переменными х и у. Еще раз напомним, что к настоящему моменту мы изучили следующие математические модели: у = b, у = kx, y = kx + m, у = х².

Есть ли у этих математических моделей что-либо общее? Есть! Их структура одинакова: у = f(x).

Эту запись следует понимать так: имеется выражение f(x) с переменной х, с помощью которого находятся значения переменной у.

Математики предпочитают запись у = f(x) не случайно. Пусть, например, f(x) = х², т. е. речь идет о функции у = х². Пусть нам надо выделить несколько значений аргумента и соответствующих значений функции. До сих пор мы писали так:

если х = 1, то у = I² = 1;
если х = - 3, то у = (- З)² = 9 и т. д.

Если же использовать обозначение f(x) = х², то запись становится более экономной:

f(1) = 1²=1;
f(-3) = (-3)² = 9.

Итак, мы познакомились еще с одним фрагментом математического языка: фраза «значение функции у = х² в точке х = 2 равно 4» записывается короче:

«если у = f(x), где f(x) = x², то f(2) = 4».

А вот образец обратного перевода:

Если у = f(x), где f(x) = x², то f(- 3) = 9. По-другому — значение функции у = х² в точке х = - 3 равно 9.

П р и м е р 1. Дана функция у = f(x), где f(x) = х³. Вычислить:

а) f(1);             б) f(- 4);       в) f(о);           г) f(2а);
д) f(а-1);          е) f(3х);       ж) f(-х).

Решение. Во всех случаях план действий один и тот же: нужно в выражении f(x) подставить вместо х то значение аргумента, которое указано в скобках, и выполнить соответствующие вычисления и преобразования. Имеем:

Замечание. Разумеется, вместо буквы f можно использовать любую другую букву (в основном, из латинского алфавита): g(x), h (х), s (х) и т. д.

Пример 2. Даны две функции: у = f(x), где f(x) = х², и у = g (х), где g (х) = х³. Доказать, что:

а) f(-x) = f(x);                  b) g(-x)= -g(x).

Р е ш е н и е. а) Так как  f(x) = х², то f(- х) = (- х)² = х². Итак,  f(x) = х²,  f(- х) = х², значит, f(- x) =f (x)

б) Так как g{x) = х³, то g(- x) = -x³, т.e. g(-x) = -g(x).

Использование математической модели вида у = f(x) оказывается удобным во многих случаях, в частности, тогда, когда реальный процесс описывается различными формулами на разных промежутках изменения независимой переменной.

Пример 3. Дана функция у = f{x), где

а) Вычислить: f(- 5), f(- 2), f(1,5),f(4), f(0).

б) Построить график функции у = f(x).

Решение,

а) Что такое f-5)? Это значение заданной функции в точке х = -5. Но функция задана не одним выражением, а двумя: 2х и х². Каким из них воспользоваться? Это зависит от выбранного значения аргумента. Мы выбрали х = -5, а число -5 удовлетворяет неравенству х < 0; в этом случае функция задается выражением, стоящим в первой строке, т.е. f(x) — 2x. Тогда f(-5) = 2-(-5) = -10.

Аналогично вычисляем f(- 2): если x = -2, то х < 0  и, значит, f(x) = 2х, т. е. f(- 2) = 2 • (- 2)= - 4.

Вычислим f(1,5), т.е. значение функции у = f(x) в точке х = 1,5. Это значение х удовлетворяет условию х > 0, и, следовательно, функция задается выражением, стоящим во второй строке, т. е. f{x) = х². Поэтому f(1,5) = 1,5² = 2,25.

Аналогично находим f(4): если х = 4, то х > 0 и, значит, f(x) = х², т.е.f(4) = 4² = 16.
Осталось вычислить f(0). Значение х = 0, удовлетворяет условию х>0, следовательно, f(x) = х², т.е. f(О) = О² = 0.

б) Мы умеем строить графики функций у = 2х (рис. 62) и у = х² (рис. 63). Заданная функция y = f(x) совпадает с функцией у = 2х при х < 0 — эта часть графика выделена на рисунке 62. Заданная функция у = f(x) совпадает с функцией у = х² при х > 0 — эта часть графика выделена на рисунке 63. Если мы теперь изобразим обе выделенные части в одной системе координат, то получим требуемый график функции у = f(x) (рис. 64).

Конечно, математики не строят подобные графики так долго. Обычно все делается сразу в одной системе координат. Только, естественно, прямая у = 2х берется не целиком, а лишь при условии х < 0, у т. е. на промежутке (- оо, 0), и парабола у = х² берется не целиком, а лишь при условии х > 0, т. е. на
промежутке [0, +оо). Вот так, «по кусочкам» и воспроизводится весь график. Поэтому функции такого типа, как в примере 3, называют кусочными.

Пример 4. Дана функция у = f(x), где

а) Вычислить: f(- 4), f(- 2),f(-0,5), f(0), f(1A);

б) построить график функции у = f(x).

Решение. а) Значение x = -4 удовлетворяет условию  -4<л:<-1, а в этом случае f(x) = х + 2. Поэтому f(- 4) = -4 + 2 = -2.

Значение х = - 2 удовлетворяет условию -4<х<-1,а в этом случае f(x) = х + 2. Значит, f(- 2) = - 2 + 2 = 0.

Значение х = - 0,5 удовлетворяет условию -1<х<0, а в этом случае f(x) = х². Следовательно, f( - 0,5) = (-0.5)² = 0,25.

Значение х = 0 удовлетворяет условию -1<x<0, а в этом случае f(x) = x². Тогда f(0) = О2 = 0.

Значение х = 1 удовлетворяет условию 0 <x< 4, а в этом случае f(x) = 2. Имеем  f(1) = 2.
Значение x = 5 не удовлетворяет ни одному из имеющихся условий: ни первому -4 < х <-1, ни второму -1 <x< 0, ни третьему 0 < х <4.
Поэтому вычислить f(5) мы не можем, это задание некорректно.

б) График функции у = f(x) построим «по кусочкам». На рисунке 65 изображен график функции  у = х + 2, х є [-4, -1]. На рисунке 66 представлен
график функции у = х², где х є [-1, 0]. На рисунке 67 изображен график функции у = 4, где  x є[ 0, 4].

Наконец, на рисунке 68 все «кусочки» воссоединены в одно целое — в график функции у = f(x).

Вот так с помощью известных графиков «по кусочкам» можно строить графики на координатной плоскости.

Опишем с помощью построенного на рисунке 68 графика некоторые свойства функции у — f(x) — такое описание свойств обычно называют чтением графика.

Чтение графика — это своеобразный переход от геометрической модели (от графической модели) к словесной модели (к описанию свойств функции). А
построение графика — это переход от аналитической модели (она представлена в условии примера 4) к геометрической модели.

Итак, приступаем к чтению графика функции у = f(x) (см. рис. 68).

1. Независимая переменная х пробегает все значения от - 4 до 4. Иными словами, для каждого значения х из отрезка [- 4, 4] можно вычислить значение функции f(x). Говорят так: [-4, 4] — область определения функции.

Почему при решении примера 4 мы сказали, что найти f(5) нельзя? Да потому, что значение х = 5 не принадлежит области определения функции.

2. y_наим= -2 (этого значения функция достигает при х = -4); У_нанб. = 2 (этого значения функция достигает в любой точке полуинтервала (0, 4].

3. у = 0, если 1 = -2 и если х = 0; в этих точках график функции y = f(x) пересекает ось х.

4. у > 0, если х є (-2, 0) или если x є (0, 4]; на этих промежутках график функции y = f(x) расположен выше оси х.

5. у < 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.

6. Функция возрастает на отрезке [—4, -1], убывает на отрезке [-1, 0] и постоянна (ни возрастает, ни убывает) на полуинтервале (0,4].

По мере того как мы с вами будем изучать новые свойства функций, процесс чтения графика будет становиться более насыщенным, содержательным и интересным.

Обсудим одно из таких новых свойств. График функции, рассмотренной в примере 4, состоит из трех ветвей (из трех «кусочков»). Первая и вторая  ветви (отрезок прямой у = х + 2 и часть параболы) «состыкованы» удачно: отрезок заканчивается в к точке (-1; 1), а участок параболы начинается в  той же точке. А вот вторая и третья ветви менее  удачно «состыкованы»: третья ветвь («кусочек» горизонтальной прямой) начинается не в точке (0; 0), а в точке (0; 4). Математики говорят так: «функция у = f(x) претерпевает разрыв при х = 0 (или в точке х = 0)». Если же функция не имеет точек разрыва, то ее называют непрерывной. Так, все функции, с которыми мы познакомились в предыдущих параграфах (у = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) — непрерывные.

Пример 5. Дана функция . Требуется построить и прочитать ее график.

Решение. Как видите, здесь функция задана достаточно сложным выражением. Но математика — единая и цельная наука, ее разделы тесно связаны друг с другом. Воспользуемся тем, что мы изучали в главе 5, и сократим алгебраическую дробь

справедливо лишь при ограничении Следовательно, мы можем переформулировать задачу так: вместо функции у = х²
будем рассматривать функцию у = х², где Построим на координатной плоскости хОу параболу у = х².
Прямая х = 2 пересекает ее в точке (2; 4). Но по условию , значит, точку (2; 4) параболы мы должны исключить из рассмотрения, для чего на чертеже отметим эту точку светлым кружком.

Таким образом, график функции построен — это парабола у = х² с «выколотой» точкой (2; 4) (рис. 69).

Перейдем к описанию свойств функции у = f (x), т. е. к чтению ее графика:

1. Независимая переменная х принимает любые значения, кроме х = 2. Значит, область определения функции состоит из двух открытых лучей (- _0о, 2) и

(2 + оо).

2. у_наим = 0 (достигается при х = 0), у_наиб_ не существует.

3. Функция не является непрерывной, она претерпевает разрыв при х = 2 (в точке х = 2).

4. у = 0, если х = 0.

5. у > 0, если х є (-оо, 0), если х є (0, 2) и если х є (B,+оо).
6. Функция убывает на луче (- со, 0], возрастает на полуинтервале [0, 2) и на открытом луче(2, +оо].

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.