Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Тангенс суммы и разности аргументов

§ 23. Тангенс суммы и разности аргументов

В § 21 и 22 мы получили формулы, выражающие синус и косинус суммы и разности аргументов через синусы и косинусы аргументов. В этом параграфе речь пойдет о том, как тангенс суммы или разности аргументов выражается через тангенсы аргументов. Соответствующие формулы выглядят следующим образом:

При этом, разумеется, предполагается, что все тангенсы имеют смысл, т.е. что (для первой формулы),   (для второй формулы).
Доказательства этих формул достаточно сложны, мы приведем одно из них в конце параграфа. Но сначала рассмотрим ряд примеров, показывающих, как используются эти формулы на практике.
Пример 1. Вычислить:
Решение, а) Воспользуемся тем, что 75° = 45° + 30°. Получим:

Есть смысл избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив и числитель, и знаменатель полученной дроби на

Есть смысл избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив и числитель, и знаменатель полученной дроби на

в) Заметим, что заданное выражение представляет собой правую часть формулы «тангенс суммы» для аргументов 27° и 18°. Значит,

Пример 2. Доказать тождество:
Решение. Применим к правой части проверяемого тождества формулу «тангенс разности». Имеем:

Замечание. Когда речь идет о доказательстве тригонометрического тождества или о преобразовании тригонометрического выражения, всегда предполагается, что аргументы принимают только допустимые значения. Так, в рассмотренном примере доказанное тождество справедливо при условии, что
Пример 3. Вычислить
Решение. Воспользуемся тождеством, полученным в предыдущем примере:

Если мы вычислим tg х, то вычислим и
Значение соs x; задано, значение tg х найдем с помощью соотношения

По условию аргумент x принадлежит второй четверти, а в ней тангенс отрицателен. Поэтому из равенства
Подставим найденное значение в правую часть формулы (1):

В заключение докажем, как было обещано, формулу тангенса суммы. Кроме того, приведем довольно любопытный пример, показывающий неожиданное применение формулы тангенса суммы.
Имеем:

Разделим в полученной дроби и числитель, и знаменатель почленно на соs х соз у. Получим:

Пример 4. Доказать, что 1° — иррациональное число.
Решение. Предположим противное, что tg 1°— рациональное число :tg 1 °=r, где г — рациональное число. Имеем:

Получилось рациональное число, обозначим его q; итак tg 2°=q.
Рассуждая аналогично, устанавливаем, что:   снова получили рациональное число. Продолжая процесс, получим, что 4°, 5°, 60° — рациональные числа. Но а это — иррациональное число. Получили противоречие, значит, сделанное предположение неверно, т.е. tg 1° — иррациональное число.   

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.