Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Степень с отрицательным целым показателем

Степень с отрицательным целым показателем

Вы умеете вычислять значение степени с любым натуральным показателем. Например,

0,2х = 0,2; З² = 3-3 = 9; 4³ = 4•4•4 = 64; I⁴ = 1•1 • 1•1 = 1;

(-2)⁵ = (-2)•(-2)•(-2)•(-2)•(-2) = -32;

0⁶ = 0•0•0•0•0•0 = 0 и т. д.

Но математики на этом не остановились.

Так, еще в курсе алгебры 7-го класса мы познакомились с понятием степени с нулевым показателем: если , то а 0 = 1.

Например, 5,7° = 1; (- 3)° = 1 и т. д.

Постепенно продвигаясь в изучении математического языка, мы с вами поймем, что означают в математике символы и т. д. Частично это мы сделаем уже в настоящем параграфе, а частично — в курсе алгебры 11-го класса.

Зададим вопрос: если уж вводить символ 2^-3, то каким математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней, например, чтобы при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывались; в частности, чтобы выполнялось следующее равенство:

2^-з•2^з = 2^о (подробнее: 2^-з•2^з = 2^о = 2^{-3 + 3} - 2°).
Но 2° = 1, а тогда из равенства 2^-з•2^з = = 1 получаем, что . Значит, появились основания определить .
Подобные рассуждения и позволили ввести следующее определение.
Определение. Если n — натуральное число и , то под а ^-n понимают :

Например, и т. д.
Естественно, что записанную выше формулу при необходимости используют справа налево, например:

Отметим одно важное тождество, которое часто используется на практике:

Пример 1. Вычислить
Решение. Имеем:

Пример 2. Доказать, что:

Рассмотрим тождества, доказанные в примере 2, повнимательнее. Первое означает, чтоa^-3•a^-5 = a^-3+-5

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются).

Второе тождество означает, что а⁴:а^-3=а^4-(-3)

(при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого надо вычесть показатель делителя).

Третье тождество означает, что (а^-2)^-3=а^(-2)•(-3)

(при возведении степени в степень показатели перемножаются).

Как видите, те свойства степеней, к которым вы привыкли, имея дело с натуральными показателями, сохраняются и для отрицательных целых показателей.

Вообще, справедливы следующие свойства (мы считаем, что — произвольные целые числа):

1.a^s•a^t = a^s+t

2.a^s:a^t = a^s-t
3. (a^s)^t = a^st.
4. (ab)s = a^s • b^s

Заметим, что теперь мы имеем право не делать в свойстве 2 ограничения s > t (как это было тогда, когда мы оперировали только с натуральными показателями степени). Например, верно как равенство а⁷ : а² = а^{7 -2}, так и равенство а² : а⁷ = а^2-'7.

Частичные обоснования указанных свойств были сделаны выше, этим и ограничимся.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно онлайн, Математика для 8 класса скачать, школьная программа по математике, планы конспектов уроков}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.