Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Свойства числовых неравенств

Свойства числовых неравенств

Продолжим изучение свойств действительных чисел, начатое в главе 5. Там мы отмечали, что над действительными числами производятся различные арифметические операции, при этом используются свойства таких операций. Знание этих свойств помогало нам выполнять преобразования алгебраических выражений, решать уравнения.

Там же, в главе 5, мы ввели понятие числового неравенства: а> b — это значит, что а - b — положительное число; а < b — это значит, что а - b — отрицательное число.

Числовые неравенства обладают рядом свойств, знание которых поможет нам в дальнейшем работать с неравенствами.

Для чего нужно уметь решать уравнения, вы знаете: до сих пор математическая модель практически любой реальной ситуации, которую мы рассматривали, представляла собой либо уравнение, либо систему уравнений. На самом деле встречаются и другие математические модели — неравенства, просто мы пока таких ситуаций избегали.

Знание свойств числовых неравенств будет полезно и для исследования функций. Например, с неравенствами связаны такие известные вам свойства функций, как наибольшее и наименьшее значения функции на некотором промежутке, ограниченность функции снизу или сверху. С неравенствами связано и свойство возрастания или убывания функции, о котором пойдет речь в одном из следующих параграфов. Так что, как видите, без знания свойств числовых неравенств нам не обойтись. Да вы и сами уже могли убедиться в необходимости умения работать с неравенствами.

Так, в § 27 мы пользовались оценками для числа у и т. д.), где фактически опирались (хотя и интуитивно) на свойства числовых неравенств. Активно использовали мы знаки (да и свойства) неравенств в § 28 и 30.

Изучением свойств числовых неравенств мы займемся в настоящем параграфе.

Свойство 1. Если а>b и b> с, то а> с.

Доказательство. По условию, а > b, т. е. а — b — положительное число. Аналогично, так как b > с, делаем вывод, что b - с — положительное число.

Сложив положительные числа а - b и b - с, получим положительное число. Имеем (а - b) + (b - с) - а - с. Значит, а- с — положительное число, т. е. а > с, что и требовалось доказать.

Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, т. е. числовую прямую. Неравенство а> b означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство b > с — что точка b расположена правее точки с (рис. 115). Но тогда точка о расположена на прямой правее точки с, т. е. а> с.

Свойство 1 обычно называют свой ством транзитивности (образно с говоря, от пункта а мы добираемся до Рис. 115 пункта с как бы транзитом, с промежуточной остановкой в пункте b).

Свойство 2. Если а>b, то а + с>Ь + с.

Свойство 3. Если а>b и m> О, то от > bm; если а>b и m < o, то am < bm.

Смысл свойства 3 заключается в следующем: если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить;

если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (< на >,> на< ).

То же относится к делению обеих частей неравенства на одно и то же положительное или отрицательное число т, поскольку деление на m всегда можно заменить умножением на .
Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства а > b на — 1, получим — а < -b. Это значит, что если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства: если а>b, то — а <—b.

Свойство 4. Если а>b и c> d, то а + с > b + d.

Доказательство.
I способ. По условию, а > b и с > d, значит, а - b и с - d — положительные числа. Тогда и их сумма, т. е. (а - b) + (с - d) — положительное число. Так как (a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d), то и (а + с) - (b + d) — положительное число. Поэтому a + c>b + d.

II способ. Так как а > Ь, то, согласно свойству 2, а + с > b + с. Аналогично, так как с > d, то с + b > d + b.
Итак, а + с > b + с, b + с > b + d. Тогда, в силу свойства транзитивности, получаем, что а + с > b + d.

Замечание 1. Мы привели два способа доказательства для того, чтобы вы сами выбрали тот из них, который вам больше понравился или более понятен.

Кроме того, вообще полезно знакомиться с различными обоснованиями одного и того же факта.

Доказательство. Так как а > b и с > 0, то ас > bc. Аналогично, так как с > d и b > o, то cb > db. Итак, ас > bc, bc > bd. Тогда, согласно свойству транзитивности, получаем, что ас > bd.

Обычно неравенства вида а > b, с > d (или а < с, с < d) называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства а > b и с < d — неравенствами противоположного смысла.

Свойство 5 означает, что при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части — положительные числа, получится неравенство того же смысла.

Свойство 6. Если а и b — неотрицательные числа и а > b, то аⁿ > Ьⁿ, где n — любое натуральное число.

Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства — неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

Дополнение к свойству 6. Если n — нечетное число, то для любых чисел а и b из неравенства а > b следует неравенство того же смысла аⁿ > bⁿ.

Вы обратили внимание на то, что в приведенных доказательствах мы пользовались по сути дела всего двумя идеями? Первая идея — составить разность левой и правой частей неравенства и выяснить, какое число получится: положительное или отрицательное. Вторая идея — для доказательства нового свойства использовать уже известные свойства. Так поступают и в других случаях доказательств числовых неравенств: например, так можно доказать те из перечисленных выше свойств, которые мы здесь привели без доказательства (советуем вам в качестве упражнения попробовать восполнить этот пробел). Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Пусть а и b — положительные числа и а > b.
Доказать, что

Решение.

Рассмотрим разность . Имеем
По условию, а, b, а - b — положительные числа. Значит,  — отрицательное число, т.е. —, откуда следует, что
Пример 2. Пусть а — положительное число. Доказать, что
Решение. 

 Получили неотрицательное число, значит,
Заметим, что

Пример 3. Пусть а и b неотрицательные числа.
Доказать, что

Решение.

Составим разность левой и правой частей неравенства. Имеем

Число называют средним арифметическим чисел а и b число  называют средним геометрическим чисел а и b. Таким образом, неравенство, доказанное в примере 3, означает, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Доказанное неравенство иногда называют неравенством Коши в честь французского математика XIX века Огюста Коши.

Замечание 2. Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки а и b (рис. 116). В геометрии доказано, что

(так что не случайно для этого выражения ввели термин «среднее геометрическое»). А что  такое  ? Это длина половины гипотенузы. Но из геометрии известно, что медиана m прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, как раз и равна половине гипотенузы. Таким образом, неравенство Коши означает, что медиана,  проведенная к гипотенузе (т. е. ), не меньше высоты, проведенной к гипотенузе (т.е. ), — очевидный геометрический факт (см. рис. 116). Свойства числовых неравенств позволяют сравнивать действительные числа по величине, оценивать результат.

Пример 4. Сравнить числа:

Решение.

а) Поставим между сравниваемыми числами знак < ; интуиция подсказывает, что первое число меньше второго. Если в результате правильных (т. е. строгих, основанных на свойствах числовых неравенств) рассуждений мы получим верное неравенство, то наша догадка подтвердится.

Если же в результате правильных рассуждений мы получим неверное неравенство, то между заданными числами надо было поставить не знак <, а знак > (или = , если окажется, что числа равны).

Итак, мы считаем, что • Тогда, согласно свойству 6, , т. е. 5 < 7. Это верное неравенство, значит, наша догадка подтвердилась: .
б) Поставим между сравниваемыми числами наугад знак > (тут уже действительно наугад, поскольку интуиция здесь не поможет), т. е. предположим,что • Возведя обе части неравенства в квадрат и используя свойство 6,получим

Воспользовавшись свойством 2, прибавим к обеим частям этого неравенства число -9; получим

Решение, а) Умножив все части двойного неравенства 2,1<а< 2,2 на одно и то же положительное число 2, получим
2 • 2,1 < 2а < 2 • 2,2, т. е. 4,2 <2а< 4,4.

б) Умножив все части двойного неравенства 3,7 < b < 3,8 на одно и то же отрицательное число - 3, получим неравенство противоположного смысла:

- 3 • 3,7 > - Зb > - 3 • 3,8, т. е. - 11,4 < - 36 < - 11,1 (вместо записи вида а > b > с мы перешли к более употребительной записи с <b < а).

в) Сложив почленно заданные двойные неравенства одинакового смысла, получим

г) Сначала умножим все части двойного неравенства 3,7 < b < < 3,8 на одно и то же отрицательное число -1; получим неравенство противоположного смысла - 3,7 > - b > - 3,8, т. е. - 3,8 < - b < - 3,7.

Далее имеем

д) Поскольку все части двойного неравенства 2,1 < а < 2,2 положительны, возведя их в квадрат, получим
2,1²<а²<2,2², т. е. 4,41 < а² < 4,84.

е) Возведя в куб все части двойного неравенства 3,7 < b < 3,8, получим 3,7³ < b³ < 3,8³, т. е. 50,653 < b³ < 54,872.

ж) В примере 1 мы установили, что если а и b— положительные числа, то из неравенства а < b следует неравенство противоположного смысла . Значит из двойного неравенства 2,1 < а < 2,2 следует, что

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{Книги и учебники согласно календарному плануванння по математике 8 класса скачать, помощь школьнику онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.