Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Показательные неравенства

§ 47. Показательные неравенства

Показательными неравенствами называют неравенства вида

где а — положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Для решения неравенства (1) проведем следующие рассуждения. Разделив обе части неравенства (1) на выражение а^g(x), получим неравенство , равносильное неравенству (1) (поскольку
обе части неравенства (1) мы разделили на выражение, положительное при любых значениях х). Далее имеем:

Теперь следует рассмотреть два случая:  а>1 и 0<а<1. Ее ли а > 1, то неравенство а^t > 1 имеет место тогда и только тогда, когда t >0 (см. теорему 2 из § 45). Значит,

Если 0 <а < 1, то неравенство а^t > 1 имеет место тогда и только тогда, когда t <0 (см. теорему 4 из § 45). Значит,

Тем самым доказано следующее утверждение.

Пример 1. Решить неравенства:

Решение. а) Имеем Это неравенство равносильно неравенству того же смысла 2х - 4 > 6, откуда находим х>5.
б) Воспользовавшись тем, что перепишем заданное неравенство в виде:

Здесь основанием служит число Значит, рассматриваемое неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: 2х -3,5 >0,5, откуда находим: х>2.

в) Заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла:
Найдем корни квадратного трехчлена Построив (схематически) параболу у = х² -6х + 8 (рис. 211), находим:
Пример 2. Решить неравенство:
Решение. Заметим, что 3^x+1 =3 ■ 3х, и введем новую переменную у=3^х.
Получим:

Далее последовательно получаем:

Применив метод интервалов (рис. 212), находим:
Возвращаясь к переменной х, получаем двойное неравенство

Ответ: -1<х<2.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.