Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Метод подстановки

                                Метод подстановки

Вернемся еще раз к системе B) из § 35:

Мы ее решили графическим методом в §28 и знаем, что х=2, у=5— единственное решение этой системы. А теперь будем решать ту же систему другим способом.

Первое уравнение преобразуем к виду 2у = bх, т. е. у = 2,5x;. Второе уравнение преобразуем к виду 2у = 16 - Зх и далее у = 8 - 1,5x; (все коэффициенты уравнения 2у = 16 - Зx; разделили на 2).

Теперь систему можно переписать так:

Ясно, что нас интересует такое значение х, при котором 2,5x = 8 - 1,5x. Из этого уравнения находим 2,5x + 1,5x = 8; 4x = 8; х = 2.
Если х = 2, то из уравнения у = 2,5x получим у = 5. Итак, (2; 5) — решение системы (что, напомним, нам уже было известно).

Чем эти рассуждения отличаются от тех, что мы применяли в § 28? Тем, что никаких графиков строить не пришлось, вся работа шла на алгебраическом языке. Как же мы рассуждали?

Мы выразили у через х из первого уравнения и метод получили у = 2,5x. Затем подставили выражение 2,5x подстановки вместо у во второе уравнение и получили 2,5x = 8 - 1,5x. Далее решили это уравнение относительно х и получили х = 2. Наконец, по формуле у = 2,5x нашли соответствующее значение у.

И вот что важно: во втором уравнении совсем не обязательно было выражать у через х, можно было подставить 2,5x вместо у в заданное уравнение

Зx + 2у - 16 = 0.

Смотрите:
Зx + 2-2,5x-16 = 0;
Зx + 5x = 16;
8x = 16;
х = 2.

Подобный метод рассуждений называют обычно методом подстановки. Он представляет собой определенную последовательность шагов, т. е. некоторый алгоритм.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение.

1) Из первого уравнения системы получаем:

у = Зx - 5.
2) Подставим найденное выражение вместо у во второе уравнение системы:
2х + (3x - 5) - 7 = 0.
3) Решим полученное уравнение:
2х + Зx - 5 - 7 = 0;

4) Подставим найденное значение х в формулу у = Зx - 5:

5) Пара — единственное решение заданной системы.

Ответ: .
Вы узнали эту систему? Мы с ней встретились в предыдущем параграфе (система (5)), пробовали решить ее графическим методом, и у нас ничего не получилось. А вот метод подстановки выручит всегда, это — универсальное средство. Он и выручил нас в примере 1. Более того, метод подстановки активно применяется и в более сложных системах уравнений, не обязательно линейных, о таких системах речь впереди — в старших классах. Этот метод, быть
может, не всегда эффективен (т.е. не всегда быстро приводит к цели), но достаточно надежен.

Вернемся к рассмотренному алгоритму из пяти шагов, в котором описан метод подстановки. У вас не возник вопрос, почему у выражают именно из первого уравнения и подставляют во второе, почему не выразить у из второго уравнения и подставить в первое? И вообще, почему выражали у через х, а не х через у, почему такое неравноправие? Ответ: никакой причины нет. Выражайте что хотите и откуда хотите, ищите наиболее простые варианты.

Пример 2. Решить систему уравнений:

Решение.

1) Выразим х через у из второго уравнения:

x = 11 - 12y

2) Подставим найденное выражение вместо х в первое уравнение системы:
5(11 - 12y) - 3y + 8 = 0
3) Решим полученное уравнение:
55 - 60у - Зу + 8 = 0;
63 - 63y = 0;
63y = 63;
y = 1

4) Подставим найденное значение у в формулу

х = 11 - 121 =-1.
5) Пара х--1,у = 1 — единственное решение заданной системы.
От в ет: (- 1; 1).

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.