Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Графическое решение уравнений

                Графическое решение уравнений

Подытожим наши знания о графиках функций. Мы с вами научились строить графики следующих функций:

у =b (прямую, параллельную оси х);

y = kx (прямую, проходящую через начало координат);

y — kx + m (прямую);

у = х² (параболу).

Знание этих графиков позволит нам в случае необходимости заменить аналитическую модель геометрической (графической), например, вместо модели у = х² (которая представляет собой равенство с двумя переменными х и у) рассматривать параболу в координатной плоскости. В частности, это иногда полезно для решения уравнений. Как это делается, обсудим на нескольких примерах.

Пример 1. Решить уравнение х² = х + 2.

Решение. Рассмотрим две функции: у = х², у = х + 2, построим их графики и найдем точки пересечения графиков. Эту задачу мы с вами уже решали (см. пример 2 из § 32 и, соответственно, рис. 59). Парабола у = х² и прямая у °° х + 2 пересекаются в точках А (- 1; 1) и В (2; 4).

Как же найти корни уравнения х² = х + 2, т. е. те значения x, при которых выражения х2 и х + 2 принимают одинаковые числовые значения? Очень просто, эти значения уже найдены: х₁ = 1, х₂ = 2. Это абсциссы точек А и В, в которых пересекаются построенные графики.

О т в е т: x₁ = - 1, х₂ = 2.

Фактически мы использовали следующий алгоритм:

1. Ввели в рассмотрение функции у = х², ух + 2 (для другого уравнения будут, разумеется, иные функции).

2. Построили в одной системе координат графики функций у = х², у = х + 2.

3. Нашли точки пересечения графиков.

4. Нашли абсциссы точек пересечения — это и есть корни уравнения.

Пример 2. Решить уравнение х² - х + 4 = 0.

Решение. Здесь придется дополнить выработанный алгоритм еще одним шагом (подготовительным шагом): надо переписать уравнение в виде, для которого имеется алгоритм.

Этот вид таков: х² = х - 4. Теперь все в порядке, действуем в соответствии с алгоритмом.

1) Введем две функции: у = х², у = х - 4.
2) Построим в одной системе координат графики функций y= x²,   y= x - 4 (рис. 61).

3) Точек пересечения у построенных параболы и прямой нет.

Как вы думаете, что означает этот геометрический факт для данной алгебраической задачи (для данного уравнения)? Догадались? А теперь сопоставьте свою догадку с тем, что ниже записано в ответе.

Ответ: уравнение не имеет корней.

Замечание. В § 23 мы уже говорили о том, что существуют так называемые квадратные уравнения —
уравнения вида ах² + Ьх + с = 0, где а, и, с — числа, Они решаются по специальным формулам для отыскания корней, но этих формул мы пока не знаем.

Тем не менее некоторые квадратные уравнения мы уже решили. Так, в § 23 мы решили уравнение х² - 6х + 5 = 0 методом разложения на множители. А в настоящем параграфе мы решили еще два квадратных уравнения — графическим методом. Это уравнение х² - х - 2 = 0 (см. пример 1; правда, там уравнение было записано по-другому: х² = х + 2 — но вы же понимаете, что это то же самое) и уравнение х² - х + 4 = 0 (см. пример 2).

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.