Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 11 класс>>Математика:Касательная плоскость к шару

Касательная плоскость к шару

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания (рис. 457).

 
Теорема 20.5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.

Доказательство. Пусть — плоскость, касательная к шару, и А — точка касания (рис. 458). Возьмем произвольную точку X плоскости , отличную от А. Так как OA — перпендикуляр, а ОХ — наклонная, то

OX>OA=R.

Следовательно, точка X не принадлежит шару.

Теорема доказана.

Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.

Задача (39). Шар радиуса R касается всех сторон правильного треугольника со стороной а. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

Решение. Пусть А, В, С — точки касания шара со сторонами треугольника (рис. 459). Опустим из центра О шара перпендикуляр OO₁ на плоскость треугольника. Отрезки OA, ОВ и ОС перпендикулярны сторонам. По теореме о трех перпендикулярах отрезки O₁A, O₁В и O₁С тоже перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника.

 
Из равенства прямоугольных треугольников OO₁A, OO₁В и OO₁С (у них катет общий, а гипотенузы равны радиусу) следует равенство сторон:

O₁A = O₁В = O₁С Следовательно, 0₁ — центр окружности, вписанной в треугольник. Радиус этой окружности, как мы знаем,
 равен

По теореме Пифагора находим искомое расстояние оно равно

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.