Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Координаты середины отрезка. Полные уроки

Тема урока

• Координаты середины отрезка.

Цели урока

• Расширить кругозор понятий.
• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Вступительное слово.
2. Повторение ранее изученного материала.
3. Координаты середины отрезка.
4. Логические задачи.

Вступительное слово

Перед тем как перейти к самому материалу по теме хотелось бы немного поговорить о отрезке не только как о математическим определении. Много ученых старались посмотреть на отрезок как то по другому, видели в нем нечто необычное. Некоторые талантливые художники заставляли геометрические фигуры передавать настроение и эмоции.

Есть множество теорий как цвет влияет на наше настроение и почему.

Цвет можно чувствовать, он тесно связан с нашими эмоциями. Окружающий нас цвет природы, архитектуры, растений, одежды исподволь влияет на наше настроение.

Как утверждают специалисты цветовая гама может воздействовать человека.

• Красный цвет может поднять настроение, придать сил.
• Розовый цвет символизируют мир и покой.
• Оранжевый - это теплый, беспокойный цвет, дающий энергию и поднимающий настроение.
• В императорском Китае желтый считался настолько священным цветом, что носить желтую одежду мог только император. Египтяне и майя считали желтый цветом Солнца и почитали его силу, поддерживающую жизнь. Желтые цветы могут взбодрить и порадовать, когда вы чувствуете себя неважно.
• Зеленый - целительный цвет. Вызывает ощущение равновесия и гармонии.
• Синий усиливает творческое начало.
• Фиолетовый - цвет задумчивости, духовности и покоя. Он связан с интуицией и заботой о других.
• Белый обычно считается цветом чистоты и невинности. Он также связан с вдохновением, озарением, духовностью и любовью.

Но сколько людей столько и мнений. У каждого своя правда.

Так же есть интересная теория как связана форма линии или отрезка с ее характером.

Форма, как и цвет, является свойством предмета. Форма – это внешние очертания видимого предмета, отражающие его пространственные аспекты (forma, в переводе с латинского, - наружный вид). Все, что окружает нас, имеет определенную форму. Понять и изобразить ее конструктивное строение и смысловую наполненность - задача художника. А нам, как зрителям, необходимо уметь читать изображение, расшифровывать характер и смысл различных форм. На листе бумаги и экране компьютера форма образуется при замыкании линии. Поэтому характер формы зависит от характера линии, которой она образована.

Какой из этих линий можно выразить спокойствие, злость, равнодушие, волнение, радость?

Однозначного ответа в данном случае быть не может. Например, колючая линия может выражать злость, злорадство или бурную радость, граничащую с безрассудством.

Какое настроение или эмоция соответствует каждой из этих линий?

Как форма зависит от характера линии, которой она образована? 

Повторение ранее изученного материала

Декартова система координат

И так эта система координат имеет два своих вполне оправданных названия. Первым из них является декартова, такое название она получила от фамилии своего автора. И второе не менее интересное и оправданное - прямоугольная система координат, происхождение такого имени становится понятным после первого взгляда на саму систему координат. Угол между двумя направляющими равен 90° такое угол зачастую называют прямым, откуда и пошло второе название.

Горизонтальная ось называется осью ОХ, вертикальная — осью OY. Место пересечения осей ОХ и OY называется началом координат, которое также обозначают цифрой 0 (“ноль”). Каждая точка на координатной плоскости имеет свой точный адрес. Это пара чисел: первое число по оси ОХ, второе — по оси OY. Эти числа называются координатами точки. А чтобы не путать порядок следования координат, вспомните, как устроены наши дома: сначала мы заходим в нужный подъезд (по оси ОХ), а затем поднимаемся на нужный этаж (по оси ОУ).

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, которые называются координатными четвертями.

Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси.

Координаты середины отрезка

Середина - центральная часть; место объекта, одинаково удалённое от его краев.

Что же такое отрезок?

Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе.

Отрезок в геометрии

Отрезок прямой — это множество (часть прямой), состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними. Отрезок прямой, соединяющий две точки A и B (которые называются концами отрезка), обозначается следующим образом — [A;B]. Если в обозначении отрезка опускаются квадратные скобки, то пишут «отрезок AB». Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают как |AB|.

Направленный отрезок

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB и BA представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, выше указанные направленные отрезки не совпадают. Особого обозначения у направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление обычно указывается особо.

Колючая линия

На протяжении многих столетий математики имели дело лишь с линиями, почти в каждой точке которых можно было провести касательную. Если и встречались исключения, то только в нескольких точках. В этих точках линия как бы ломалась, и потому их называли точками излома. В течение долгого времени ни-кто из математиков не верил, что может существовать непрерывная линия, целиком состоящая из зубцов, изломов и колючек. Велико было изумление, когда удалось построить такую линию, более того, функцию, график которой был такой колючей изгородью.

Первым это сделал Больцано. Но его работа осталась неопубликованной, и впервые такой пример опубликовал Вейерштрасс. Однако пример Вейерштрасса очень трудно изложить – он основан на теории тригонометрических рядов.

Середина отрезка

На плоскости

Координаты середины отрезка равны полусуммам координат его концов: если концы отрезка – A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то координаты его середины –

В пространстве

Есть две произвольные точки A1(x₁;y₁;z₁) и A2(x₂;y₂;z₂). Тогда серединой отрезка A1A2 будет точка С с координатами x, y, z, где

Деление отрезка в заданном отношении

Если x₁ и y₁ - координаты точки A, а x₂ и y₂ - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении , определяются по формулам

Если ,  то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам

Площадь треугольника по известным координатам его вершин A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) вычисляется по формуле.

Полученное с помощью этой формулы число следует взять по абсолютной величине.

Пример №1

Найдите середину отрезка АВ.

Решение:

Ответ: Координаты середины отрезка равны (1.5;2)

Пример №2.

Найдите середину отрезка АВ.

[[Image:11062011 16.jpg|300px|Пример]

Решение:

Ответ: Координаты середины отрезка равны (21;0)

Пример №3.

Найдите координаты точки С, если АС=5,5 а СВ=19,5.

А(1;7), В(43;-4)

Решение:

Ответ: Координаты точки С(10,24;4,58)

Задачи

Задача №1

Найдите середину отрезка DB.

Задача №2.

Найдите середину отрезка CD.

Интересный факт

Как делают статуи.

Про многих знаменитых скульпторов рассказывают, что на вопрос, как удается делать столь замечательные статуи, следовал ответ: “Я беру глыбу мрамора и отсекаю от нее все лишнее”. В разных книгах это можно прочитать о Микеланджело, о Торвальдсене, о Родене.

Давид (Микеланджело)

Статуя Иисуса Христа в Рио–де–Жанейро

Тем же самым способом можно получить любую ограниченную плоскую геометрическую фигуру: надо взять какой-нибудь квадрат, в котором она лежит, а потом отсечь все лишнее. Однако отсекать надо не сразу, а постепенно, на каждом шагу отбрасывая кусочек, имеющий форму круга. При этом сам круг выбрасывается, а его граница – окружность – остается в фигуре.

На первый взгляд кажется, что так можно получить лишь фигуры определенного вида. Но все дело в том, что отбрасывают не один и не два круга, а бесконечное, точнее говоря, счетное множество кругов. Таким путем можно получить любую фигуру. Чтобы убедиться  в этом достаточно принять во внимание, что множество кругов, у которых рациональны и радиус и обе координаты центра, счетное.

А теперь чтобы получить любую фигуру, достаточно взять содержащий ее квадрат (глыбу мрамора) и обросить все круги указанного выше вида, которые не содержат ни одной точки нужной нам фигуры. Если же выбрасывать круги не из квадрата, а из всей плоскости, то описанным приемом можно получить и неограниченные фигуры.

Вопросы

1. Что такое отрезок?
   
2. С чего состоит отрезок?
3. Как можно найти середину отрезка?

Список использованных источников

1. Кузнецов А. В., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
3. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Над уроком работали

Кузнецов А. В.

Потурнак С.А.

Татьяна Проснякова

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.