Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Определение декартовых координат. Полные уроки

Тема урока

• Определение декартовых координат.
  

Цели урока

• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
• Сформулировать понятие системы координат.
• Вспомнить некоторые исторические факты, привлечь внимание учащихся.
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить умение учащихся решать задачи.
• Показать важность геометрии в окружаемом мире.

План урока

1. Вступительное слово.
2. Историческая справка.
3. Декартова система координат.
4. Применение на практике.

Вступительное слово

Все объекты окружающие нас в нашей жизни имеет свойства какие могут являться уникальными и неповторимыми. Кроме этих свойств каждый предмет имеет свое положение. С самого начала появления осознанного существования человечества каждый индивид хотел иметь собственную территорию, за какую люди сражались и даже умирали. Спустя некоторое время с ростом численности, людям стало тяжело различать начало и конец своих владений. Во избежание конфликтов было предложено разбивать все на квадраты и считать свою землю в условных единицах. Возможно именно таким образом люди и пришли к изобретению системы координат.

Самым простым и наглядным примером является географическая карта. Всем наверняка известно что такое географические координаты.

Географические координаты определяют положение точки на земной поверхности (в узком смысле) или, более широко, в географической оболочке.

Географические координаты строятся по принципу сферических. Аналогичные координаты применяются на других планетах, а также на небесной сфере.

Основными направляющими в географических координатах является широта, долгота и высота,здесь есть маленькое но. И так что же они означают по отдельность.

2

Широта — угол φ между местным направлением зенита и плоскостью экватора, отсчитываемый от 0° до 90° в обе стороны от экватора.

Долгота — угол λ между плоскостью меридиана, проходящего через данную точку, и плоскостью начального нулевого меридиана, от которого ведётся отсчёт долготы. Долготы от 0° до 180° к востоку от нулевого меридиана называют восточными, к западу — западными.

Высота над уровнем моря, абсолютная высота, абсолютная отметка или альтитуда (лат. altitude (в геодезии)) — координата в трёхмерном пространстве, показывающая, на каком уровне, относительно принятого за нуль уровня моря, находится тот или иной объект.

Чтобы полностью определить положение точки трёхмерного пространства, необходима третья координата — высота. Расстояние до центра планеты не используется в географии: оно удобно лишь при описании очень глубоких областей планеты или, напротив, при расчёте орбит в космосе.

Расстояние от земной поверхности (ввысь или вглубь) часто используется для описания места, однако не служит координатой.

Историческая справка

Перед тем как перейти к изучению декартовых координат, хочу представить Вам человека чью фамилию носят они сами.

Рене Декарт

Флаг Турени

Рене Декарт родился 31 марта 1596 года в маленьком городке Ла-Гэ в Турени.

Турень — бывшая провинция Франции. Столицей был город Тур. Во время политической реорганизации территории Франции в 1790 году, территория Турени была разделена между департаментами Эндр и Луара (Indre-et-Loire), Луар и Шер (Loir-et-Cher) и Эндр (Indre).

Род Декартов принадлежал к незнатному чиновному дворянству. Его мать, разрешившись от бремени, через несколько дней умерла. Рене остался жив, но до двадцати лет короткий, сухой кашель и бледный цвет лица внушали опасения за его жизнь. Детство Рене провел в Турени, славившейся садами, плодородием и мягкостью климата. В 1612 году Декарт закончил школу. Он провел в ней восемь с половиной лет.

Начальное образование Декарт получил в иезуитском коллеже Ла Флеш, где познакомился с Мареном Мерсенном (тогда — учеником, позже — священником), будущим координатором научной жизни Франции. Религиозное образование, как ни странно, только укрепило в молодом Декарте скептическое недоверие к тогдашним философским авторитетам. Позже он сформулировал свой метод познания: дедуктивные (математические) рассуждения над результатами воспроизводимых опытов.

В 1612 году Декарт закончил коллеж, некоторое время изучал право в Пуатье, затем уехал в Париж, где несколько лет чередовал рассеянную жизнь с математическими исследованиями. Затем он поступил на военную службу (1617) — сначала в революционную Голландию (в те годы — союзника Франции), затем в Германию, где участвовал в недолгой битве за Прагу (Тридцатилетняя война). Несколько лет Декарт провёл в Париже, предаваясь научной работе. Помимо прочего, он открыл принцип виртуальных скоростей, который в то время никто ещё не был готов оценить по достоинству.

Затем — ещё несколько лет участия в войне (осада Ларошели). По возвращении во Францию оказалось, что свободомыслие Декарта стало известно иезуитам, и те обвинили его в ереси. Поэтому Декарт переезжает в Голландию (1628), где провёл 20 лет. Наконец, в 1634 году он закончил свою первую, программную книгу под названием "Мир" (Le Monde) из двух частей: "Трактат о свете" и "Трактат о человеке".

Спустя некоторое время, однако, одна за другой, появляются другие книги Декарта:

• "Рассуждение о методе..." (1637)
• "Размышления о первой философии..." (1641)
• "Начала философии" (1644)

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе"Рассуждение о методе" в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

Декартова система координат

И так эта система координат имеет два своих вполне оправданных названия. Первым из них является декартова, такое название она получила от фамилии своего автора. И второе не менее интересное и оправданное - прямоугольная система координат, происхождение такого имени становится понятным после первого взгляда на саму систему координат. Угол между двумя направляющими равен 90° такое угол зачастую называют прямым, откуда и пошло второе название.

Горизонтальная ось называется осью ОХ, вертикальная — осью OY. Место пересечения осей ОХ и OY называется началом координат, которое также обозначают цифрой 0 (“ноль”). Каждая точка на координатной плоскости имеет свой точный адрес. Это пара чисел: первое число по оси ОХ, второе — по оси OY. Эти числа называются координатами точки. А чтобы не путать порядок следования координат, вспомните, как устроены наши дома: сначала мы заходим в нужный подъезд (по оси ОХ), а затем поднимаемся на нужный этаж (по оси ОУ).

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, которые называются координатными четвертями.

Посмотрите на шахматную доску. Вдоль её нижнего края идет ряд букв, а вдоль левого — ряд цифр. С их помощью можно однозначно определять положение любой фигуры на шахматной доске.

Пример

Известны координаты пятнадцати точек: А(4, 1), Б(4, 2), В(1, 2), Г(4, 5), Д(2, 5), Е(4, 7), Ж(3, 7), З(5, 9), И(7, 7), К(6, 7), Л(8, 5), М(6, 5), Н(9, 2), О(6, 2), П(6, 1). Если отметить эти точки на координатной плоскости, а затем соединить их отрезками в последовательности А—Б—В—Г—Д—Е—Ж—З—И—К—Л—М —Н—О—П—А, то получим следующий рисунок:

Применение на практике

Разобравшись что все предметы должны иметь свое место можно сказать прямоугольная система координат отыграла важную роль в развитии теоретических так и прикладных наук. Одно из центральных мест занимающих в прикладных науках это бесспорно строительство, с ростом потребностей людей выделить свои дома среди других. Быть уникальными и неповторимыми человеку приходилось все время усовершенствовать свои навыки. С развитием технологий некоторые задачи люди смогли поручить машинам, но как и прежде без человеческого управления ничего не получится. Даже самые сложные и совершенные компьютерные программы такие как AUTOCAD используют такую простую и не заумную систему координат.

Все фигуры (или "примитивы", как их ещё называют) в AutoCAD состоят из точек. Отрезок имеет две точки; прямоугольник – четыре; у круга, дуги, эллипса есть центр и так далее. Эти точки мы можем "ставить" произвольно в любом месте Рабочего пространства – щелчком левой кнопки мыши, а можем точно вводить координаты каждой точки.

Ввод координат точек обеспечивает точность построений.

В AutoCAD координаты можно вводить в двух системах координат: декартовой (вводятся координаты Х, Y) и полярной (первая координата – длина отрезка, вторая – угол к оси Х).

На следующих видео можно увидеть как выглядит проектирование деталей и остальных частей в мощных программных пакетах.

Интересный факт

Навигационные устройства.

Сегодня мы затронули очень интересную тему о навигации, хотелось бы подробней углубится как же все это работает.

Спутниковые системы определения координат  (российская  Глонасс  и американская GPS),  в состав которых входят: комплекс наземных станций автоматического наблюдения за спутниками, искусственные спутники Земли с  радиусом  орбит около 26 000 км и приемная аппаратура потребителей.

При функционировании системы пространственное положение спутников  определяют  с  наземных станций наблюдений,  равномерно расположенных по всему миру и имеющих  определенные  пространственные  координаты.  Все станции связаны с головной станцией управления высокоскоростными линиями передачи данных и уточнения параметров орбит  спутников  в  единой системе координат.

Спутники передают периодически уточняемые эфемириды - набор  координат,  которые  определяют  положение спутников на орбите в различные моменты времени. Под влиянием гравитационного поля Земли и других факторов параметры исходных координат спутниковых систем изменяются и поэтому постоянно уточняются.  В настоящее время точность "бортовых эфемирид", которые получают путем экстраполяции уточненной орбиты на несколько дней вперед, составляет 20-100 м, а при использовании специальных методов обработки - около 1 м.

При эксплуатации системы GPS определение местоположения предусмотрено в  Мировой системе координат 1984 г (WGS-84).  Начало координат в этой системе находится в центре масс Земли,  ось Z параллельна направлению на условный земной полюс, ось X определяется плоскостями начального меридиана WGS-84 и экватора. Начальный меридиан WGS-84 параллелен нулевому меридиану, закрепленному координатами станций наблюдений. Ось Y дополняет систему координат до правой. Начало и положение осей координат системы WGS-84 совпадают с геометрическим центром и осями  общеземного эллипсоида WGS-84.

В России  создана геодезическая система координат ПЗ-90 (параметры Земли 1990 г).  Она закрепляется 30 опорными пунктами на территории бывшего СССР,  координаты которых получены методами космической геодезии.

С развитием технологий люди смогли превратить все это в сверх полезные вещи для себя одним из таких примеров является GPS навигатор.

Вопросы

1. Кто такое Декарт и чем он известен?
2. В чем разница между декартовой и прямоугольной системами координат ?
3. Зачем нужны системы координат?

Список использованных источников

1. Изотова Татьяна Григорьевна, учитель информатики.
2. Кузнецов Б. Г. Эволюция картины мира.
3. В. И. Гервидс Модель декартовой системы координат.

Над уроком работали

Потурнак С.А.

Изотова Татьяна Григорьевна

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.