Пересечение двух сфер — Гипермаркет знаний

KNOWLEDGE HYPERMARKET

Пересечение двух сфер

+		Версия 19:32, 8 августа 2012 (просмотреть исходный код)
User17  (Обсуждение | вклад)
← Предыдущая правка
		Текущая версия на 06:34, 9 августа 2012 (просмотреть исходный код)
User17  (Обсуждение | вклад) 
 
		
Строка 1:
Строка 1:
- <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 11 класс, Геометрия, урок, на Тему, Пересечение двух сфер</metakeywords>   + <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 11 класс, Геометрия, урок, на Тему, Пересечение двух сфер, Теорема, плоскость, перпендикуляр, треугольник</metakeywords>  
  
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 11 класс|Математика 11 класс]]&gt;&gt;Математика:Пересечение двух сфер'''    '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 11 класс|Математика 11 класс]]&gt;&gt;Математика:Пересечение двух сфер'''  
Строка 7:
Строка 7:
 <br>Теорема 20.6. Линия пересечения двух сфер есть окружность.    <br>Теорема 20.6. Линия пересечения двух сфер есть окружность.  
  
- Доказательство. Пусть О<sub>1</sub> и О<sub>2</sub> — центры сфер и А — их точка пересечения (рис. 460). Проведем через точку А плоскость [[Image:24-06-52.jpg]], перпендикулярную прямой О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>.   + Доказательство. Пусть О<sub>1</sub> и О<sub>2</sub> — центры сфер и А — их точка пересечения (рис. 460). Проведем через точку А '''[[Презентація до теми Розміщення прямої та площини в просторі. Ознака паралельності прямої та площини|плоскость]]''' [[Image:24-06-52.jpg]], '''[[Теорема о трех перпендикулярах|перпендикулярную]]''' прямой О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>.  
  
- Обозначим через В точку пересечения плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] с прямой О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>. По теореме 20.3 плоскость [[Image:24-06-52.jpg]] пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер.   + Обозначим через В точку пересечения плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] с прямой О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>. По '''[[Теоремы и доказательства. Полные уроки|теореме]]''' 20.3 плоскость [[Image:24-06-52.jpg]] пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер.  
  
 Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности К. Проведем плоскость через точку X и прямую О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>. Она пересечет сферы по окружностям с центрами О<sub>1</sub> и О<sub>2</sub>. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение наших сфер есть окружность (К). Теорема доказана.    Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности К. Проведем плоскость через точку X и прямую О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>. Она пересечет сферы по окружностям с центрами О<sub>1</sub> и О<sub>2</sub>. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение наших сфер есть окружность (К). Теорема доказана.  
Строка 15:
Строка 15:
 '''''Задача (44).''''' Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.    '''''Задача (44).''''' Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.  
  
- '''''Решение'''''. Проведем сечение через центры шаров (рис. 461). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окружность (теорема 20.6). Ее радиус равен высоте равностороннего треугольника ОАО<sub>1</sub> со сторонами, равными&nbsp; R.   + '''''Решение'''''. Проведем сечение через центры шаров (рис. 461). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окружность (теорема 20.6). Ее радиус равен высоте равностороннего '''[[Презентація уроку на тему «Трикутник і його елементи»|треугольника]]''' ОАО<sub>1</sub> со сторонами, равными&nbsp; R.  
  
- Высота равна + Высота равна  
  
 [[Image:2-07-37.jpg|60px|Формула]].<br>&nbsp;<br>[[Image:2-07-38.jpg|120px|Формула]]&nbsp;&nbsp;    [[Image:2-07-37.jpg|60px|Формула]].<br>&nbsp;<br>[[Image:2-07-38.jpg|120px|Формула]]&nbsp;&nbsp;  
Текущая версия на 06:34, 9 августа 2012
 
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 11 класс>>Математика:Пересечение двух сфер 

 Пересечение двух сфер 

Теорема 20.6. Линия пересечения двух сфер есть окружность. 
Доказательство. Пусть О₁ и О₂ — центры сфер и А — их точка пересечения (рис. 460). Проведем через точку А плоскость , перпендикулярную прямой О₁О₂. 
Обозначим через В точку пересечения плоскости  с прямой О₁О₂. По теореме 20.3 плоскость  пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер. 
Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности К. Проведем плоскость через точку X и прямую О₁О₂. Она пересечет сферы по окружностям с центрами О₁ и О₂. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение наших сфер есть окружность (К). Теорема доказана. 
Задача (44). Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности. 
Решение. Проведем сечение через центры шаров (рис. 461). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окружность (теорема 20.6). Ее радиус равен высоте равностороннего треугольника ОАО₁ со сторонами, равными  R. 
Высота равна 
.
 
   
Следовательно, длина линии равна
 

 
 

 

 А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений 
 

 
 _{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать} 

 

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки



 
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. 
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D1%81%D1%84%D0%B5%D1%80»
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 11 класс, Геометрия, урок, на Тему, Пересечение двух сфер</metakeywords>
+<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 11 класс, Геометрия, урок, на Тему, Пересечение двух сфер, Теорема, плоскость, перпендикуляр, треугольник</metakeywords>
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 11 класс|Математика 11 класс]]&gt;&gt;Математика:Пересечение двух сфер'''
@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 <br>Теорема 20.6. Линия пересечения двух сфер есть окружность.
-Доказательство. Пусть О<sub>1</sub> и О<sub>2</sub> — центры сфер и А — их точка пересечения (рис. 460). Проведем через точку А плоскость [[Image:24-06-52.jpg]], перпендикулярную прямой О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>.
+Доказательство. Пусть О<sub>1</sub> и О<sub>2</sub> — центры сфер и А — их точка пересечения (рис. 460). Проведем через точку А '''[[Презентація до теми Розміщення прямої та площини в просторі. Ознака паралельності прямої та площини|плоскость]]''' [[Image:24-06-52.jpg]], '''[[Теорема о трех перпендикулярах|перпендикулярную]]''' прямой О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>.
-Обозначим через В точку пересечения плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] с прямой О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>. По теореме 20.3 плоскость [[Image:24-06-52.jpg]] пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер.
+Обозначим через В точку пересечения плоскости [[Image:24-06-52.jpg]] с прямой О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>. По '''[[Теоремы и доказательства. Полные уроки|теореме]]''' 20.3 плоскость [[Image:24-06-52.jpg]] пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер.
 Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности К. Проведем плоскость через точку X и прямую О<sub>1</sub>О<sub>2</sub>. Она пересечет сферы по окружностям с центрами О<sub>1</sub> и О<sub>2</sub>. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение наших сфер есть окружность (К). Теорема доказана.
@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 '''''Задача (44).''''' Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
-'''''Решение'''''. Проведем сечение через центры шаров (рис. 461). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окружность (теорема 20.6). Ее радиус равен высоте равностороннего треугольника ОАО<sub>1</sub> со сторонами, равными&nbsp; R.
+'''''Решение'''''. Проведем сечение через центры шаров (рис. 461). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окружность (теорема 20.6). Ее радиус равен высоте равностороннего '''[[Презентація уроку на тему «Трикутник і його елементи»|треугольника]]''' ОАО<sub>1</sub> со сторонами, равными&nbsp; R.
 Высота равна
 [[Image:2-07-37.jpg|60px|Формула]].<br>&nbsp;<br>[[Image:2-07-38.jpg|120px|Формула]]&nbsp;&nbsp;

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: