|
|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, Геометрия, урок, на Тему, Теорема о трех перпендикулярах</metakeywords> | + | <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 10 класс, Геометрия, урок, на Тему, Теорема о трех перпендикулярах, перпендикулярные, плоскости</metakeywords> |
| | | | |
| | '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика:Теорема о трех перпендикулярах''' <br> <br> | | '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 10 класс|Математика 10 класс]]>>Математика:Теорема о трех перпендикулярах''' <br> <br> |
| Строка 5: |
Строка 5: |
| | '''Теорема о трех перпендикулярах'''<br> | | '''Теорема о трех перпендикулярах'''<br> |
| | | | |
| - | <br>'''Теорема 17.5'''. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. | + | <br>'''Теорема 17.5'''. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, '''[[Задачі до уроку на тему «Паралельні та перпендикулярні прямі, їх властивості. Доведення від супротивного»|перпендикулярна]]''' ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. |
| | | | |
| - | Доказательство. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости [[Image:24-06-52.jpg]], АС — наклонная и с — прямая в плоскости [[Image:24-06-52.jpg]], проходящая через основание С наклонной (рис. 363). Проведем прямую СА', параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]. Проведем через прямые АВ и А'С плоскость [[Image:24-06-53.jpg]]. Прямая с перпендикулярна прямой СА'. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости [[Image:24-06-53.jpg]], а значит, и прямой АС. | + | Доказательство. Пусть АВ — перпендикуляр к '''[[Пересечение прямой с плоскостью|плоскости]]''' [[Image:24-06-52.jpg]], АС — наклонная и с — прямая в плоскости [[Image:24-06-52.jpg]], проходящая через основание С наклонной (рис. 363). Проведем прямую СА', параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости [[Image:24-06-52.jpg]]. Проведем через прямые АВ и А'С плоскость [[Image:24-06-53.jpg]]. Прямая с перпендикулярна прямой СА'. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости [[Image:24-06-53.jpg]], а значит, и прямой АС. |
| | | | |
| | Аналогично если прямая с перпендикулярна наклонной СА, то она, будучи перпендикулярна и прямой СА', перпендикулярна плоскости [[Image:24-06-53.jpg]], а значит, и проекции наклонной ВС. Теорема доказана. | | Аналогично если прямая с перпендикулярна наклонной СА, то она, будучи перпендикулярна и прямой СА', перпендикулярна плоскости [[Image:24-06-53.jpg]], а значит, и проекции наклонной ВС. Теорема доказана. |
| Строка 15: |
Строка 15: |
| | [[Image:30-06-27.jpg|550px|Перпендикуляр к плоскости]]<br> <br> <br>Задача (45). Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника. | | [[Image:30-06-27.jpg|550px|Перпендикуляр к плоскости]]<br> <br> <br>Задача (45). Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника. |
| | | | |
| - | Решение. Пусть А, В, С — точки касания сторон треугольника с окружностью, О — центр окружности и S — точка на перпендикуляре (рис. 364). Так как радиус OA перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трех перпендикулярах отрезок SA есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина — расстояние от точки S до стороны треугольника. По теореме Пифагора | + | Решение. Пусть А, В, С — точки касания сторон треугольника с окружностью, О — центр окружности и S — точка на перпендикуляре (рис. 364). Так как радиус OA перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трех перпендикулярах '''[[Отрезок. Полные уроки|отрезок]]''' SA есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина — расстояние от точки S до стороны треугольника. По теореме Пифагора |
| | | | |
| | SA = [[Image:30-06-29.jpg|180px|Формула]] где r — радиус вписанной окружности. Аналогично находим | | SA = [[Image:30-06-29.jpg|180px|Формула]] где r — радиус вписанной окружности. Аналогично находим |
Текущая версия на 13:24, 7 августа 2012
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика:Теорема о трех перпендикулярах
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема 17.5. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Доказательство. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости  , АС — наклонная и с — прямая в плоскости , проходящая через основание С наклонной (рис. 363). Проведем прямую СА', параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости . Проведем через прямые АВ и А'С плоскость  . Прямая с перпендикулярна прямой СА'. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой АС.
Аналогично если прямая с перпендикулярна наклонной СА, то она, будучи перпендикулярна и прямой СА', перпендикулярна плоскости , а значит, и проекции наклонной ВС. Теорема доказана.
Задача (45). Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.
Решение. Пусть А, В, С — точки касания сторон треугольника с окружностью, О — центр окружности и S — точка на перпендикуляре (рис. 364). Так как радиус OA перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трех перпендикулярах отрезок SA есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина — расстояние от точки S до стороны треугольника. По теореме Пифагора
SA =  где r — радиус вписанной окружности. Аналогично находим
SB = т. е. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн
Содержание урока
 конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|
