Версия 20:22, 6 августа 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Решение неравенств с одной переменной

Решение неравенств с одной переменной

В этом параграфе речь пойдет о принципиальных вопросах, связанных с решением неравенств с одной переменной: что такое равносильные неравенства; какие преобразования неравенств являются равносильными, а какие — нет. Эти вопросы мы обсуждали в курсе алгебры, начиная с 8-го класса, да и в настоящем учебнике о них уже шла речь, например, при решении показательных и логарифмических неравенств. Мы снова возвращаемся к этим вопросам потому, что завершая изучение школьного курса алгебры, целесообразно как бы заново переосмыслить общие идеи и методы.

1. Равносильность неравенств

Напомним, что решением неравенства а(х) > п(х) называют всякое значение переменной х, которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство. Иногда используют термин частное решение. Множество всех частных решений неравенства называют общим решением, но чаще употребляют термин решение. Таким образом, термин решение используют в трех смыслах: и как общее решение, и как частное решение, и как процесс, но обычно по смыслу бывает ясно, о чем идет речь.

Определение 1. Два неравенства с одной переменной f(x)>g(x)и p(х)> h(x) называют равносильными, если их решения (т.е. множества частных решений) совпадают.

Вы, конечно, понимаете, что использование в определении знака > непринципиально. Можно и в этом определении, и во всех утверждениях, имеющихся в данном параграфе, использовать любой другой знак неравенства, как строгого, так и нестрогого.

Определение 2. Если решение неравенства

содержится в решении неравенства

то неравенство (2) называют следствием неравенства (1)

Например, неравенство х² >9 является следствием неравенства 2х>6. В самом деле, преобразовав первое неравенство к виду х² -9 >0и далее к виду (х-3)(х+3) >0 и применив метод интервалов (рис. 245), получаем, что решением неравенства служит объединение двух открытых лучей: Решение второго неравенства 2х>6 имеет вид х>3, т.е. представляет собой открытый луч Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство — следствие второго.
Любопытно, что ситуация изменится радикальным образом, если в обоих неравенствах изменить знак неравенства. Неравенство 2х < 6 будет следствием неравенства x² < 9. В самом деле, решением первого неравенства служит открытый луч . Преобразовав второе неравенство к виду х^r - 9 <0 и далее к виду (х-3)(х+3) <06 применив метод интервалов (см. рис. 245), получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство — следствие второго.

При решении уравнений мы не очень опасались того, что в результате некоторых преобразований можем получить уравнение-следствие, поскольку посторонние корни мы всегда могли отсеять с помощью проверки. В неравенствах, где решение чаще всего представляет собой бесконечное множество чисел, доводить дело до проверки нецелесообразно. Поэтому в неравенствах стараются выполнять только равносильные преобразования.

Решение неравенств, встречающихся в школьном курсе алгебры, основано на шести теоремах о равносильности, в определенном смысле аналогичных соответствующим теоремам о равносильности уравнений (см. § 55).

Теорема 1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечетную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное неравенство равносильно:

а)    неравенству f(х) > g(х) того же смысла, если а > 1;
б)    неравенству f(x) < g(х) противоположного смысла, если О < а < 1.

Теорема 4. а) Если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), положительное при всех х из области определения (области допустимых значений) неравенства f(х) > g(х), оставив при этом знак неравенства без изменения, то получится неравенство f(х)h(х) > g(х)h(х), равносильное данному.

б) Если обе части неравенства f(х)>g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), отрицательное при всех х из области определения неравенства f(х)> g(х), изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство f(х)h(х) < g(х)h(х), равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части неравенства f(х) > g(х) неотрицательны в области его определения, то после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же четную степень п получится неравенство того же смысла: f(х)ⁿ >g(х)ⁿ, равносильное данному.

Теорема 6. Если f(х) > О и g(х) > О, то логарифмическое неравенство log_а f(x) >log_а g(х) равносильно:

а)    неравенству f(х) >g(х) того же смысла, если а > 1;

б)    неравенству f(х)<g(х) противоположного смысла, если О < а < 1.

Теоремами 1 и 4 вы активно пользовались в курсе алгебры 9-го класса, когда решали рациональные неравенства и их системы. Теорему 3 мы использовали выше, в § 47, для решения показательных неравенств. Теорему 6 мы использовали в § 52 для решения логарифмических неравенств.

2. Системы и совокупности неравенств

Определение 3. Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств. Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств (чаще говорят просто решение системы неравенств).

Решить систему неравенств — значит найти все ее частные решения. Решение системы неравенств представляет собой пересечение решений неравенств, образующих систему.

Определение 4. Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из заданных неравенств. Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств. Множество всех частных решений совокупности неравенств представляет собой решение совокупности неравенств.

Решение совокупности неравенств представляет собой объединение решений неравенств, образующих совокупность.

Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой, а неравенства, образующие совокупность, — квадратной скобкой. Впрочем, для неравенств, образующих совокупность, вполне допустима запись в строчку через точку с запятой. Например, решение неравенства сводится к решению совокупности неравенств:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.