ознаоймитися з поняттям функції як математичної моделі реальних процесів
План
1. Функція як математична модель реальних процесів
2. Цікавинки
3. Функціональний опис реальних процесів
Функція як математична модель реальних процесів
Розглянемо рисунок, на якому зображено графік зміни температури води протягом 20 хв.
Із графіка видно, що початкова температура води дорівнювала 20 градусів по Цельсію, протягом перших 8 хв. Температура відвищилась до 100 градусів по Цельсію, потім протягом 6хвилин ( з 8 хв. по 14 хв.) температура води не змінювалась, а протягом наступних 6 хв. температура впала до 80 градусів по Цельсію.
Функція, графік якої зображено на малюнку, описує реальний процес зміни температури води. Кажуть, що зя функція моделює даний процес, або вона є математичною моделлю даного процесу.
Якщо тіло рухається рівномірно зі швидкістю 15м/с , то шлях S м, пройдений ним за час tс можна обчислити за формулою S=15t – ця функція є математичною моделлю рівномірного руху.
Цікавинки
Процес вирощування кристалів
За допомогою функцій можна навіть змоделювати процес вирощування кристалів… …зацікавило? Дивись більш докладно тут:
http: //www.mat.net.ua/autor/julia01.htm
Також цікаві приклади по застосуванню функцій та їх графіків у реальному житті дивись тут:
Функціональний опис реальних процесів
Чому не буває тварин, який завгодно величини? Чому, наприклад, немає слонів у три рази більшого зростання, ніж існують, але тих же пропорцій? Наша відповідь така: стань слон в три рази більше, вага його тоді збільшився б у двадцять сім разів, як куб розміру, а площа перерізу кісток і, отже, їх міцність - тільки в дев'ять разів, як квадрат розміру. Міцності кісток вже не вистачило б, щоб витримати непомірно збільшений вагу. Такий слон був би роздавлений власною вагою.
В основу міркування покладені дві суворі математичні залежності. Перша встановлює відповідність між розмірами подібних тіл і їх обсягами: обсяг змінюється, як куб розміру. Друга пов'язує розміри подібних фігур та їх площі: площа змінюється, як квадрат розміру. Цим виразним прикладом ми хочемо почати розмову про числові функції числового аргументу, які можна використовувати для опису реальних процесів.
Чудо англійського годинникового майстра Джона Гаррісона
Перенесемося на три століття назад. Вітрильник у відкритому морі. Як визначити довготу місця, в якому він знаходиться? Дуже просто, якщо на кораблі є годинник, поставлені в порту відправлення. Потрібно виміряти місцевий час за сонцем і порівняти з показниками годин. Розбіжність пропорційно різниці по довготі між тим пунктом, де знаходиться корабель, і тим, в якому булв поставленний годинник.
Точний закон цієї пропорційності дозволяє вивести просте співвідношення: трьомстам шістдесяти градусів земної окружності відповідають двадцять чотири години, за які Земля робить повний оберт навколо своєї осі. Тому якщо годинник відстає в порівнянні з місцевим часом на шість годин, корабель знаходиться на 90 ° східніше того місця, де були поставлені годинник. Поспішають на чотири години - на 60 ° на захід. Зрозуміло, для такого визначення довготи потрібні дуже точний годинник.
А як можна вимагати точності від маятникових годин, якими забезпечений вітрильник? Їх хід залежить від довжини маятника, а вона раз у раз змінюється: теплий день змінюється прохолодною вночі, і під час плавання вітрильник наближається то до блакитним полярним кригами, то до пальм тропіків. Тепло подовжує маятник, холод вкорочує. Така невблаганна реальність.
І все-таки знайшовся спосіб уникнути неминучого зла. Чудо здійснив в 1726 році англійський годинниковий майстер Джон Гаррісон. Це вдалося йому тому, що він знав функціональну залежність довжини металевого стержня від температури, до якої стрижень нагрітий.
Цю функцію описує пряма лінія. Така залежність називається лінійною. Суть її в тому, що однаковим приросту аргументу завжди відповідає одне і те ж приріст функції. Інакше кажучи, функція змінюється рівномірно при рівномірному зростанні аргументу.
У нашому прикладі рівномірному наростання температури відповідає рівномірний подовження стрижня. Повне його подовження пропорційно початковій довжині. Але що особливо важливо - стрижні з різних металів подовжуються по-різному від одного і того ж приросту температури. Скажімо, цинк розширюється приблизно в три рази сильніше, ніж сталь, цим і скористався Гаррісон: він зібрав маятник з цинкових і сталевих стрижнів. Загальна довжина сталевих стрижнів в три рази перевищувала довжину цинкових. Розширюючись при нагріванні і скорочуючись при охолодженні, стрижні взаємно компенсували зміни своєї довжини, і вантаж маятника залишався на одному і тому ж відстані від точки підвісу.
Ключ до невеликої математичної проблеми
Відзначимо, що не всякуфункціональну залежність вдається висловити короткою формулою, ми не випадково в якості прикладу надаємо вам, ключ від дверного замка: зараз він у буквальному сенсі слова послужить ключем до невеликої математичної проблеми, до якої нас підводить бесіда про функції. Чи знаєте ви, як таким ключем відкривається дверний замок? Що відбувається всередині цього слюсарно-механічного пристрою, коли ви вставляєте ключ у замкову щілину і робите призначене число оборотів?
Щоб замок відкрився, потрібно провернути барабан, в якому зроблено свердловина. Але цьому перешкоджають штифти, які стоять тісним строєм всередині свердловини, ковзаючі вгору-вниз. Кожен з штифтів потрібно підняти на таку висоту, щоб їх верхні торці виявилися врівень з поверхнею барабана. Якщо вони виступлять за неї, то увійдуть в проріз обойми, розташовану точно над заочної свердловиною, якщо не досягнуть поверхні барабана, то з прорізи обойми знаходяться там штифти всунути в замкову щілину. І в тому і в іншому випадку обертання барабана буде застопорилося.
Штифти в замковій щілині піднімає ключ, вдвигается в неї. При цьому висота кожного штифта, будучи складена з висотою профілю ключа у відповідній точці, повинна дати в сумі діаметр барабана. Тільки тоді він провернеться.
Ну а причому тут функція? Та при тому, що, з точки зору математика, вся ця механіка є не що інше, як операція складання двох функцій. Одна з них - це профіль ключа. Інша - лінія, що окреслює верхні торці штифтів, коли замок замкнений.
Операція додавання функцій полягає в тому, що в кожній точці із загальної області їх визначення до значення однієї функції додається значення іншої. Тим самим визначається, яке значення в даній точці має функція, звана сумою двох вихідних .. Секрет дверного замка в тому, що в результаті складання двох функцій, виражених профілем ключа і строєм штифтів, виходить функція-константа, постійне значення якої дорівнює діаметру барабана
Інформаційний бум
Зараз багато говорять про інформаційний бум. Потік інформації захльостує: стверджують, що її кількість подвоюється кожні десять років. Зобразимо цей процес наочно, у вигляді графіка деякої функції.
Приймемо обсяг інформації в деякий рік за одиницю. Оскільки ця величина послужить нам початком подальших побудов, відкладемо її над початком координат, в яких буде будуватися графік, по вертикальній осі. Відрізок, вдвічі більший, щоб поставити над поодинокий відміткою горизонтальній осі, вважаючи, що ця позначка відповідає першому десятку років.
Ще вдвічі більший відрізок підійме над точкою «два», відповідної другому десятку, ще вдвічі більший - над точкою «три». Декада за декадою-обрані нами значення аргументу вишикуються по горизонтальній осі в порядку рівномірного наростання, за законом арифметичної прогресії: один, два, три, чотири ... Значення функції відкладуться над ними, зростаючи кожного разу вдвічі, - за законом геометричної прогресії: два, чотири, вісім, шістнадцять ...
А що якщо подивитися, як наростав потік інформації до того року, який прийнятий за початковий? Настільки ж рівномірно, відкладаючи одиницю за одиницею, пройдемося по осі абсцис ліворуч від початку координат і над відкладеними значеннями аргументу, будемо наносити на графік значення функції вже в порядку убування - удвічі з кожним кроком.
Тепер з'єднаємо всі нанесені точки безперервної гладкою лінією - адже кількість інформації наростає від десятиліття до десятиліття плавно, а не стрибками. Перед нами графік так званої показовою функції.
Зоряний графік
Скільки зірок на небі? Одним з перших, хто спробував точно відповісти на це питання, був давньогрецький астроном Гіппарх. За його життя в сузір'ї Скорпіона спалахнула нова зірка. Гіппарх був приголомшений: зірки смертні, вони, як люди, народжуються і вмирають. І щоб майбутні дослідники могли стежити за виникненням і згасанням зірок, Гіппарх склав свій зоряний каталог. Він нарахував близько тисячі зірок і розбив їх по видимому блиску на шість груп. Найяскравіші Гіппарх назвав зірками першої величини, помітно менш яскраві - другий, ще настільки ж менш яскраві - третій і так далі в порядку убування рівномірного видимого блиску - до зірок, ледь ві хідних неозброєним оком, яким була присвоєна шоста величина.
Коли вчені отримали в своє розпорядженнячутливі прилади для світлових вимірювань, стало можливим точно визначати блиск зірок. Стало можливим порівняти, наскільки відповідає даним таких вимірів традиційне розподіл зірок по видимому блиску, вироблене на глаз.Оценкі того й іншого роду зведемо на одному графіку. Від кожної з шести груп, на які зірки розподіл лив Гіппарх, візьмемо по одному типовому представникові. За вертикальної осі будемо відкладати блиск зірки в одиницях Гіппарха, тобто її зоряну величину, по горизонтальній - показання приладів. За масштабну одиницю горизонтальної осі приймемо блиск зірки «б Тельця», що стоїть посередині у ряду представників зоряного солнца.Отметкі на горизонтальній осі розташовуються нерівномірно. Об'єктивні (прилад) і суб'єктивні (око) характеристики блиску не пропорційні один одному.
З кожним кроком за шкалою зоряних величин прилад реєструє зростання блиску не на одну і ту ж величину, як могло б здатися, а приблизно в два з половиною рази. Образно кажучи, очей порівнює джерела світла по блиску, задаючись питанням «у скільки разів?», А не питанням «на скільки?». Ми відзначаємо не абсолютний, а відносний приріст блиску. І коли нам здається, що він зростає або убуває рівномірно, насправді ми крокуємо по його шкалою все більш розмашистими кроками, покриваючи при цьому воістину гігантський діапазон: в мільйон мільйонів разів розрізняються по блиску джерела світла, найслабший і найпотужніший, що сприймаються людським оком .
Саме в силу описаної фізіологічної особливості зірки, яскраво горять на нічному небі, не видно вдень, тонуть в сліпучому блиску сонця, розсіяному по небосхилу. І там і тут сяйво зірок дає одну і ту ж добавку до світла фону. Однак у першому випадку (вночі) ця добавка велика в порівнянні з мерехтінням неба, у другому ж (вдень) становить дуже незначну частку від сонячного блиску (менш ніж мільярдну навіть для самих яскравих зірок). Від того ж і голос соліста, коли його спів підхоплює хор, тоне в багатоголосому звучаніі.Суть функціональної залежності, описаної нами на прикладі зору і слуху, в тому, що зростанню аргументу на одне і те ж число раз завжди відповідає воно і той же приріст функції . Коли аргумент змінюється за законом геометричної прогресії, функція змінюється за законом арифметичної прогресії.
Як же називається функція, з якою ми познайомилися по зоряному небу? Ординати виділених точок графіка є логарифмами абсцис, взятих по підставі 2,5. Таку функцію називають логарифмічною.
Математичні портрети прислів'їв
Сучасна математика знає безліч функцій, і в кожної свій неповторний вигляд, як неповторний вигляд кожного з мільярдів людей, що живуть на Землі. Однак при всій несхожості однієї людини на іншу у кожного є руки і голова, вуха і рот. Точно так же вигляд кожної функції можна представити складеним з набору характерних деталей. У них виявляються основні властивості функцій.
Функції - це математичні портрети стійких закономірностей, пізнаваних людиною. Щоб проілюструвати характерні властивості функцій, нам здалося природним звернутися до прислів'їв. Адже прислів'я - це теж відображення стійких закономірностей, вивірене багатовіковим досвідом народу.
«Выше меры конь не скачет»Якщо уявити траєкторію танцював коня як графік деякої функції, то висота стрибків у повній відповідності з прислів'ям буде обмежена зверху деякої «мірою». Це буде знайомий графік функції синуса.
«Пересев хуже недосева»Урожай лише до певної пори зростає разом з щільністю посіву, далі він знижується, тому що при надмірній густоті паростки починають глушити один одного. Ця закономірність стане особливо наочною, якщо зобразити її графіком, де врожай представлений як функція щільності посіву. Урожай максимальний, коли поле засіяно в міру. Максимум-це найбільше значення функції порівняно з її значеннями у всіх сусідніх точках. Це як би вершина гори, з якої всі дороги ведуть тільки вниз, куди не Крокуй.
«Чем дальше в лес, тем больше дров»Можна зобразити графіком, як наростає кількість дров у міру просування в глиб лісу - від узлісся, де всі давним-давно зібрано, до хащ, куди не ступала нога заготівельника. Графік представляє кількість дров як функцію шляху. Згідно прислів'ю ця функція незмінно зростає. Така властивість функції називається монотонним зростанням.
«Каши маслом не испортишь»Якість каші можна розглядати як функцію кількості масла в ній. Згідно прислів'ю ця функція не зменшується з добавкою масла. Вона, можливо, збільшується, але може залишатися і на колишньому рівні. Подібного роду функція називається монотонно неубутною.
Математичні категорії, про які йшла мова, природним чином діляться на дві групи. Одні описують поведінку функції в околиці деяких характерних точок (максимум, мінімум, перегин). Інші описують поведінку функції в деяких проміжках (опуклість, увігнутість, спадання, зростання).
Список використаної літератури
1. Урок на тему «Функція як математична модель реальних процесів» викладача Конченко Т. М. , Гімназії міжнародних відносин, м. Київ (СЗШ №323). 2. Істер О. А. «Алгебра. 7 клас». 3. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., ЯкірМ. С. Збірник задачізавдань для тематичного оцінювання з алгебри для 7 класу. – Харків, Гімназія, 2004. – 112 с.: іл.
Відредаговано і надіслано Мазуренко М.С.
Над уроком працювали
Конченко Т. М.
Мазуренко М.С.
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, но и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего.Гильдия Лидеров Образованияоткрывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.
