Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Функции y = xn(n є N), их свойства и графики

Функции y = xn(n є N), их свойства и графики

Функцию вида у = хⁿ, где n = 1, 2, 3, 4, 5, ..., называют степенной функцией с натуральным показателем.
Две степенные функции мы с вами уже изучили: у = х (т.е. у — х¹) и у = х². Этим перечень наших достижений исчерпывается, ибо, начиная с n = 3, мы о функции у = хⁿ пока ничего не знаем. Как выглядят графики функций у = х³,у = х⁴,у = х⁵,у = х⁶ и т.д.? Каковы свойства этих функций? Об этом и степенная пойдет речь в настоящем параграфе. Правда, в § 10 функция    одно свойство мы с вами предусмотрительно обсудили: доказали, что у = х⁴ — четная функция, а у = х³ — нечетная функция. И это, кстати, нам сейчас очень пригодится. Мы ведь знаем, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Значит, мы можем и для функции у = х⁴, и для функции у — х³ поступить так: рассмотреть эти функции на луче, построить их графики (на указанном луче). Затем, используя симметрию, построить график функции на всей числовой прямой и с помощью графика перечислить свойства функции по той схеме, которую мы выработали в предыдущих параграфах (добавив свойство четности).

1. Функция
Составим таблицу значений для этой функции:

Построим точки на координатной плоскости (рис. 75а); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 756).

2. Функция у = х⁴

Рассмотрим график, изображенный на рис. 75б. Добавив к нему линию, симметричную построенной относительно оси ординат, получим график функции у = x⁴ (рис. 76). Он похож на параболу (но параболой его не называют).

Прежде чем перечислить свойства функции, заметим, что мы будем придерживаться того же порядка ходов, который использовали в § 9, с одной поправкой: свойству четности функции отведем вторую позицию.

Свойства функции у = х⁴:

Эти свойства мы прочитали по графику, что, в общем-то, как мы уже подчеркивали выше, в математике не принято. Обычно поступают наоборот: исследуют свойства функции, а потом, опираясь на результаты проведенного исследования, строят ее график. В состоянии ли мы с вами уже теперь действовать так, как принято в математике? Пока еще не совсем. Из перечисленных выше восьми свойств очевидно первое (поскольку любое число х можно возвести в четвертую степень). В предыдущем параграфе доказано второе свойство. Можно доказать и третье: в самом деле, если то, по свойству числовых неравенств, а это и означает возрастание функции на луче [0, +оо) (см. определение 1 из § 9). Можно доказать четвертое свойство: для любого значения х справедливо неравенство х⁴ > 0, а это и означает ограниченность функции снизу (см. определение 3 из § 9). Очевидно пятое свойство. Что же не доказано, где мы вынуждены пока опираться на геометрическую интуицию? Не доказаны свойства 6, 7 и 8.

Впрочем, при желании можно дать некоторое пояснение (не доказательство) и свойству выпуклости функции вниз. Покажем, например, что на отрезке [0, +оо), где а > 0, график функции у = х⁴ расположен ниже отрезка ОА (рис. 77).

На интервале (0, а) возьмем произвольную точку хг и восставим из этой точки перпендикуляр к оси х до пересечения с графиком функции у = х⁴ (в точке Р) и с прямой ОА (в точке М) (рис. 77). Ордината точки Р равна х⁴, а чему равна ордината точки М? Давайте подсчитаем.

Прямая ОА проходит через начало координат, значит, ее уравнение имеет вид у — kх. Эта прямая проходит через точку А(а; а⁴). Подставив   координаты точки А в уравнение у = kх, получим равенство а⁴ = ка. Значит, к = а³, т.е. уравнение прямой ОА таково: у = а³х.

                           
Теперь ясно, что ордината точки М равна а³х₂.

Итак, ордината точки Р равна , а ордината точки М равна а³хг Какое из этих чисел больше? Имеем 0 < х¹ < а, значит, по свойствам числовых неравенств, х³ < а³ и далее Что означает последнее неравенство? То, что точка Р располагается ниже точки М. А отсюда можно сделать вывод: если провести произвольную прямую ОА, то окажется, что график функции у = х⁴ на отрезке [0, а] лежит ниже соответствующего участка прямой ОА.

3.    Функция у — х²ⁿ

Речь идет о функциях у = х⁶, у = х⁸ и вообще о степенной функции счетным показателем степени. График любой такой функции похож на график функции у = х⁴ (рис. 76), только его ветви более круто направлены вверх.

Отметим еще, что кривая у = х²ⁿ касается оси х в точке (0; 0), т.е. одна ветвь кривой плавно переходит в другую, как бы прижимаясь к оси х.

4.    Функция у - х³

Заметим прежде всего, что у = х³ — нечетная функция, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. График функции в принципе выглядит так же, как график функции  (рис. 756), нужно лишь учесть, что новая кривая чуть менее круто идет вверх и чуть дальше отстоит от оси х около начала координат. Добавив линию, симметричную построенной относительно начала координат, получим график функции у = х³ (рис. 78). Эту кривую называют кубической параболой.

Замечание.

Между прочим, это один из редких случаев, когда математики используют не очень удачный термин. Парабола — геометрическая фигура с определенными свойствами. Линия, изображенная на рис. 78, этими свойствами не обладает, поэтому лучше было бы придумать ей другое название, без использования термина «парабола» («кубическая парабола» — это что-то вроде «квадратной окружности»). Но термин «кубическая парабола» прижился в математике, придется и нам его использовать.

Отметим некоторые геометрические особенности кубической параболы у = х³. У нее есть центр симметрии — точка (0; 0), которая отделяет друг от друга две симметричные части кривой; эти симметричные части называют ветвями кубической параболы. Обратите внимание: когда одна ветвь кубической параболы переходит через начало координат в другую ветвь, то это происходит плавно, без излома.

Свойства функции у = х³:

1)D(f) = (-00,+00);
2)    нечетная функция;
3)    возрастает;
4)    не ограничена ни снизу, ни сверху;
5)    нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6)    непрерывна;
7)    Е(f) = (-оо, +00);
8)    выпукла вверх при х < 0, выпукла вниз при х > 0.

5. Функция у = х²ⁿ⁺¹

Речь идет о функциях у = х³, у — хb, у = х¹ и вообще о степенной функции снечетным показателем степени (3, 5, 7, 9 и т.д.). График любой такой функции похож на график функции у — аx⁴ (рис. 78), только чем больше показатель, тем более круто направлены вверх (и соответственно вниз) ветви графика. Отметим еще, что кривая у = х²ⁿ⁺¹ касается оси х в точке (0; 0).

Пример 1.

Решить уравнение х⁵ = 3 - 2х.

Решение.

1) Рассмотрим две функции: у — х⁵ и у= 3 - 2х.
2) Построим график функции у = хъ (рис. 79).
3) Построим график линейной функции у = 3 - 2х. Это — прямая линия, проходящая через точки (0; 3) и (1; 1) (рис. 79).
4) Построенные графики пересекаются в точке А(1; 1), причем простая проверка показывает, что координаты точки А(1; 1) удовлетворяют и уравнению у = х⁵, и уравнению у = 3 - 2х. Значит, уравнение имеет один корень: х = 1 — это абсцисса точки А.

О т в е т: 1.

Между прочим, геометрическая модель, представленная на рис. 79, наглядно иллюстрирует следующее утверждение, которое иногда позволяет изящно решить уравнение:

Если функция у = f(х) возрастает, а функция y = g(х) убывает и если уравнение f(х) = g(х) имеет корень, то только один.

Вот как, опираясь на это утверждение, мы можем решить уравнение из примера 1 без чертежа:

1) заметим, что при х = 1 выполняется равенство 1⁵ = 3 - 2 • 1, значит, х = 1 — корень уравнения (этот корень мы угадали);

2) функция у—3-2х убывает, а функция у — х⁵ возрастает, значит, корень у заданного уравнения только один и этим корнем является найденное выше значение х = 1.

Пример 2.

Построить график функции у = (х - I)6 - 2.

Решение.

1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2) (пунктирные прямые х = 1 и у = -2 на рис. 80а).

       
2) Привяжем функцию у = х⁶ к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функции у = х⁶: (0; 0), (1; 1), (-1; 1), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 80а). Затем через контрольные точки проведем линию, похожую на ту, которая изображена на рис. 76, — это и будет требуемый график (рис. 80b).

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.