Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Средняя линия треугольника. Полные уроки

Тема урока

Средняя линия треугольника

Цели урока

• Закрепить знания школьников о треугольниках;
• Познакомить учащихся с таким понятием, как средняя линия треугольника;
• Сформировать знания учеников о свойствах треугольников;
• Продолжать обучать детей применению свойств фигур при решении задач;
• Развивать логическое мышление, усидчивость и внимание учеников.

Задачи урока

• Формировать знания школьников о средней линии треугольников;
• Проверить знания учащихся по пройденным темам о треугольниках;
• Проверить умение учащихся решать задачи.
• Развивать у школьников интерес к точным наукам;
• Продолжать формировать умение учащихся излагать свои мысли и владеть математическим языком;

План урока

1. Средняя линия треугольника. Основные понятия.
2. Средняя линия треугольника, теоремы и свойства.
3. Повторение ранее изученного материала.
4. Основные линии треугольника и их свойства.
5. Интересные факты из области математики.
6. Домашнее задание.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называют такой отрезок, который соединяет середины двух сторон данного треугольника.

В каждом треугольнике есть три средние линии, которые образуют еще один новый треугольник, расположенный внутри.

Вершины вновь образованного треугольника находятся на срединах сторон данного треугольника.

В каждом треугольнике есть возможность провести три средние линии.

Теперь давайте более детально остановимся на этой теме. Посмотрите на рисунок треугольника вверху. Перед вами треугольник АВС, на котором проведении средние линии. Отрезки MN, MP и NP образуют внутри данного треугольника еще один треугольник MNP.

Свойства средней линии треугольника

Каждая средняя линия треугольника, соединяющая середины его сторон, обладает следующими свойствами:

1. Средняя линия треугольника параллельна его третей стороне и равна её половине.

Таким образом, мы видим, что сторона АС параллельна MN, которая в два раза меньше, чем сторона АС.

2. Средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника.

Если мы посмотрим на треугольник АВС, то увидим, что средние линии MN, MP и NP разделили его на четыре равных треугольника, и в итоге образовались треугольники MBN, PMN, NCP и AMP.

3. Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольника подобный, площадь которого равняется одной четвертой исходного треугольника.

Так, например, в треугольнике АВС средняя линия MP отсекает от данного треугольника, образуя треугольник AMP, площадь которого равна одной четвертой треугольника АВС.

Треугольники

В предыдущих классах вы уже изучали такую геометрическую фигуру, как треугольник и знаете, какие бывают виды треугольников, чем они отличаются и какими свойствами обладают.

Треугольник относится к простейшим геометрическим фигурам, которые имеют три стороны, три угла и их площадь ограничена тремя точками и тремя отрезками, которые попарно соединяют эти точки.

Вот мы вспомнили определение треугольника, а сейчас давайте повторим все что вы знаете об этой фигуре, ответив на вопросы:

4. Какие виды треугольников вы уже изучили? Перечислите их.
5. Дайте определения каждому из видов треугольников.
6. Чему равна площадь треугольника?
7. Чему равна сумма углов этой геометрической фигуры?
8. Какие типы треугольников вам известны? Назовите их.
9. Какие вы знаете треугольники по типу равных сторон?
10. Дайте определение гипотенузы.
11. Сколько острых углов может быть в треугольнике?

Основные линии треугольника

К основным линиям треугольника относятся: медиана, биссектриса, высота и срединный перпендикуляр.

Медиана

Медианой треугольника называют отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны данного треугольника.

Свойства медиан треугольника

1. Она делит треугольник на два других, равных по площади;
2. Все медианы данной фигуры пересекаются в одной точке. Эта точка делит их в отношении два к одному, начиная отсчет от вершины, и называется центром тяжести треугольника;
3. Медианы разделяют данный треугольник на шесть равновеликих.

Биссектриса

Луч, который выходит из вершины и, проходя между сторонами угла, делит его пополам, называется биссектрисой этого угла.

А если отрезок биссектрисы угла соединяет его вершину с точкой, которая лежит на противолежащей стороне треугольника, то он называется биссектрисой треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

1. Биссектрисой угла является геометрическое место точек, которые равноудалены от сторон данного угла.
2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, которые являются пропорциональными прилежащим сторонам треугольника.
3. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис данной фигуры.

Высота

Перпендикуляр, который проведен с вершины к фигуры к прямой, которая является противоположной стороной треугольника, называется его высотой.

Свойства высот треугольника

1. Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных.
2. Если треугольник является остроугольным, то его две высоты отсекают от данного треугольника ему подобные.

Срединный перпендикуляр

Срединным перпендикуляром треугольника называют прямую, которая проходит через середину отрезка, который расположен перпендикулярно к этому отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

1. Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку, равноудалена от его концов. В этом случае будет верно и обратное утверждение.
2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, которые проведены к сторонам треугольника, есть центром окружности, которая описана около этого треугольника.

Интересные факты из области математики

Будет ли для вас новостью узнать, что за расшифровку секретной переписки правительства Испании, Франсуа Виета хотели отправить на костер, так как считали, что узнать шифр мог только дьявол, а человеку это не по силам.

Известно ли вам, что первым человеком, который предложил нумеровать кресла, ряды и места, был Рене Декарт? Аристократы-театралы даже просили короля Франции дать за это Декарту награду, но, увы, король отказал, так как считал, что давать награды философу – это ниже его достоинства.

Из-за учащихся, которые могли запомнить теорему Пифагора, но не смогли ее понять, эту теорему называли «ослиным мостом». Это значило, что ученик «осел», который не смог преодолеть мост. В данном случае мостом считали теорему Пифагора.

Писатели сказочники посвящали свои произведения не только мифическим героям, людям и зверюшкам, но и математическим символам. Так, например, автор знаменитой «Красной Шапочки», написал сказку о любви циркуля и линейки.

Домашнее задание

1. Перед вами изображены три треугольника, дайте ответ, являются ли проведенные в треугольниках линии средними?
2. Сколько средних линий можно построить в одном треугольнике?

3. Дан треугольник АВС. Найдите стороны треугольника АВС, если его средние линии имеют такие размеры: OF = 5,5 см, FN = 8 см, ON = 7 см.