Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика: Способ группировки

                                                                Способ группировки

Для уяснения сути способа группировки рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Разложить на множители многочлен
2а² + 6а + ab + 3b.

Решение. Объединим в одну группу первые два члена, а в другую — последние два члена многочлена:

(2а² + 6а) + (аb + 3b).

Замечаем, что в первой группе можно вынести за скобки 2а, a во второй группе b. Имеем: 2а (а + 3) + b (а + 3). Теперь мы видим, что «проявился» общий множитель (а + 3), который можно вынести за скобки. В результате получим:

(а + 3)(2а + b).

Поскольку процесс преобразований в примере 1 перемежался обширными комментариями, приведем еще раз решение, но уже без комментариев:

2а² + 6а + аb + 3b = (2а² + 6а) + (аb + 3b) =
= 2а (а + 3) + b(а + 3) = (а + 3) (2а + b).

Объединение членов многочлена 2а² + 6а + аЬ + 3b в группы можно осуществить различными способами. Однако нужно учитывать, что иногда такая группировка оказывается удачной для последующего разложения на множители, а иногда нет. Проведем эксперимент. Объединим в одну группу первый и третий члены рассматриваемого многочлена, а в другую группу — второй и четвертый:

2а² + 6а + аЬ + 3b= (2а² + аb) + (6а + 3b) =
= а (2а + b) + 3(2а + b) = (2а + b) (а + 3).

Разложение на множители получилось, группировка оказалась удачной.

Теперь объединим в одну группу первый и четвертый члены, а в другую — второй и третий:

2а² + 6а + аb + 3b = (2а² + 3b) + (6a+ab) =(2a² +3b) +a(6 + b)

Эта группировка явно неудачна.

Подведем итоги. Члены многочлена можно группировать так, как нам хочется. Иногда удается такая группировка, что в каждой группе после вынесения общих множителей в скобках остается один и тот же многочлен, который, в свою очередь, может быть вынесен за скобки как общий множитель. Тогда говорят, что разложение многочлена на множители осуществлено способом группировки.

Пример 2. Разложить на множители

ху-6 + 3у-2у.

Решение.
Первый способ группировки:
ху - 6 + Зx - 2у = (ху - 6) + (3x - 2у).
Группировка неудачна.

Второй способ группировки:
ху - 6 + Зх - 2у = (ху + Зх) + (- 6 - 2у) =
= x (у + 3) - 2 (у + 3) = (у + 3) (х - 2).

Третий способ группировки:
ху - 6 + Зx - 2у = (ху - 2у) + (- 6 + Зx) = y(x - 2) +3( x - 2) =( x -2)( y + 3)

Ответ: ху - 6 + Зx - 2у = (х - 2) (у + 3).

Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной. Если группировка оказалась неудачной, то откажитесь от нее, ищите иной способ. По мере приобретения опыта вы будете быстро находить удачную группировку, как это сделано в следующем примере.

Пример 3. Разложить на множители многочлен

аb² - 2аb + За + 2b² - 4b + 6.

Решение. Составим три группы: в первую включим первый и четвертый члены, во вторую — второй и пятый, в третью — третий и шестой:

аb² - 2аb + За + 2b² - 4b + 6 = (аb² + 2b²) + (- 2аb - 4b) +
+ (За + 6) = b²(а + 2) - 2b(а + 2) + 3(а + 2).

Во всех группах оказался общий множитель (а + 2), который можно вынести за скобки. Получим:
(a + 2) (b2 -2b + 3).

Иногда полезно проверить себя, т.е. в полученном разложении на множители выполнить операцию правилом умножения многочленов (раскрыть скобки) и убедиться, что в результате получится тот многочлен, который был задан. А если нет? Тогда надо искать ошибку в разложении на множители.

Пример 4. Разложить на множители многочлен x2 - 7x + 12.

Решение. Наверное, вы думаете: какое отношение имеет этот пример к способу группировки, ведь здесь и группировать-то нечего? Это верно, но можно сделать небольшой фокус: если представить слагаемое - 7х в виде суммы - Зх - 4x, то получится сумма уже не трех (как в заданном многочлене), а четырех слагаемых. Эти четыре слагаемых можно распределить по двум группам.

Итак,

х² - 7x + 12 - х² - Зx - 4x + 12 = (х² - Зх) + (- 4x + 12) =
= x(x-3) - 4(x - 3) = (x:-3)(x:-4).

Пример 5. Решить уравнение:

а) x² -7х +12 = 0;   б) x³ - 2x² + Зx - 6 = 0.

Р е ш е н и е.

а) Разложим трехчлен x² - 7х + 12 на множители так, как это сделано в примере 4:

х² - 7х + 12 = (х - 3) (х - 4).

Тогда заданное уравнение можно переписать в виде (x - 3) (x - 4) = 0. Теперь ясно, что исходное уравнение имеет два корня: х = 3, x = 4.

б) Разложим многочлен х³ - 2x² + Зx - 6 на множители.

Имеем:

х³ - 2х² + Зх - 6 = (x³ - 2x²) + (Зx - 6) = x²(x - 2) + 3(х - 2) =
= (х - 2) (x² + 3).

Перепишем теперь заданное уравнение в виде:
(х - 2) (x² + 3) = 0.

Так как произведение равно нулю, то равен нулю один из множителей. Но x² + 3 при любых значениях х является положительным числом, т. е. в нуль обратиться не может. Значит, может выполняться только равенство x - 2 = 0, откуда получаем x= 2.

Ответ:a) 3,4;в) 2

_{Видеопо математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам онлайн}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.