Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей. Полные уроки

Цели урока:

• Повторить понятие параллельных прямых, ввести понятие накрест лежащих, односторонних и соответственных углов.
• Научить находить пары накрест лежащих, односторонних и соответственных углов.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Формировать навыки в построении медианы равнобедренного треугольника с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Повторение.
2. Признаки параллельности двух прямых.
3. Практические способы построения параллельных прямых.
4. Свойство углов.
5. Решение заданий на закрепление.

Повторение:

Вспомнить взаимное расположение прямых на плоскости.

Две прямые могут пересекаться (в одной точке) или на пересекаться (параллельны).

Файл:01022011 0.gifФайл:01022011 1.gif

Файл:O.gif Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. В евклидовой геометрии.

Параллельными (иногда — равнобежными) прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. (В некоторых школьных определениях совпадающие прямые не считаются параллельными, здесь такое определение не рассматривается).
В свою очередь, существование непересекающихся в плоскости прямых является фактом абсолютной геометрии, т.е. может быть доказан и без использования аксиомы Евклида, и без использования аксиомы Лобачевского. А именно, верно следующее утверждение: Если две прямые (в плоскости) перпендикулярны третьей, то они не пересекаются. В планиметрии Евклида любые непересекающиеся прямые — параллельны, в планиметрии Лобачевского это не так.

Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это отличительное свойство евклидовой геометрии, в других геометриях число 1 заменено другими (в геометрии Лобачевского таких прямых минимум две).

Используя аксиоматику Вейля и векторный подход для построения Евклидовой геометрии, параллельность прямых можно определить так: Две прямые называются параллельными, если направляющие их векторы коллинеарны.

Основные теоремы о параллельных прямых

• Параллельность — бинарное отношение эквивалентности, поэтому разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
  
• Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
  
• Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых и лежит с ними в одной плоскости (такая прямая называется секущей), то

         1) она пересекает и другую прямую.
         2) при пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
               1. Накрест лежащие углы равны.
               2. Соответственные углы равны.
               3. Односторонние углы в сумме составляют 180°.
               4. Смежные углы в сумме составляют 180°, а вертикальные — равны.

Файл:01022011 3.gif

Вспомним, что две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Файл:01022011 4.gif

Признаки параллельности двух прямых

Прямая с называется секущей ми отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках. При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 3 обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6; соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Файл:01022011 5.gif

Практические способы построения параллельных прямых

Признаки параллельности прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки. Чтобы построить прямую, проходящую через точку М и параллельную данной прямой а, приложим чертежный угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая угольник вдоль линейки, добьемся того, чтобы точ ка М оказалась на стороне угольника, и проведем прямую b. Прямые а и b параллельны, так как соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами альфа

и бета, равны.

Еще есть способ построения параллельных прямых при помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертежной практике.

Аналогичный способ применяется при выполнении столярных работ, где для разметки параллельных прямых используется малка (две деревянные планки, скрепленные шарниром).

Свойство углов

I. Если при пересечении двух прямых третьей, накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны.

Рассмотрим случай, когда ∠1=∠2=90°

Тогда аФайл:01022011 8.gifАВ и вФайл:01022011 8.gifАВ. (Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются) Значит, а || в.II. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны

. Файл:01022011 9.gif

1)∠2=∠3 (вертикальные).

2) ∠1=∠2 (по условию).

следует что ∠1=∠3, они накрест лежащие при пересечении прямых а и в секущей с, по первому признаку параллельности а || в.

III. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Рисунок используем тот же что и для II свойства.

1) ∠1+∠4= 180° (по условию).

2) ∠3+∠4=180°(смежные).

следует что ∠1=<3 , они накрест лежащие при пересечении прямых а и в и секущей с, по первому признаку параллельности а || в.

II. Найдите градусную меру угла КАВ, если ABC = 58°.

Решение. Угол КАВ образует пару внутренних односторонних углов с углом ABC при пересечении параллельных прямых KD и CG третьей прямой AL. Поэтому KAB + ABC = 180°, откуда KAB = 180° - 58° = 122°.

III. Найдите градусную меру угла LBC, если KAB = 122°.

Решение. Угол LBC образует пару соответственных углов с углом КАВ при пересечении параллельных прямых KD и CG третьей прямой AL. Поэтому КАВ=LBC = 122°.

Решение заданий на закрепление.

Пусть прямые c и d пересечены секущей f.

Файл:01022011 6.gif

Назвать пары односторонних, накрест лежащих, соответственных углов.

Ответ:

∠4 и ∠8, ∠2 и ∠7 – односторонние.

∠4 и ∠7, ∠2 и ∠8 - накрест лежащие.

∠1 и ∠7, ∠2 и ∠5, ∠3 и ∠8, ∠4 и ∠6 - соответственные.

Интересный факт:

Славянские цифры — цифры, применявшиеся древними славянами для обозначения чисел в алфавитной системе нумерации, возникшей в X в. Считают, что алфавитное обозначение чисел было введено одним из составителей славянского алфавита — Кириллом (умер в 869 г.).

Система обозначения чисел была построена по типу ионийской, которой пользовались византийцы; числовые значения получили лишь буквы, соответствовавшие буквам греческого алфавита. Эта славянская система именовалась кириллицей.

Во втором славянском способе обозначения чисел — глаголице — сходства с ионической системой нет. Там числовые значения букв строго соответствуют их алфавитному порядку. В обеих системах для выделения в тексте чисел над каждой буквой или надо всем числом ставился особый знак (титло).

В славянском языке для наименования высших десятичных разрядов употреблялись названия «малое число», в котором названия не шли далее 10⁶, и «великое число», в которое входили числа до 10⁵⁰. При этом одни и те же названия обозначали в обеих системах различные числа. Так, тьма обозначала 10 000 в малом числе и 1 000 000 в великом числе. Легион обозначал в малом числе 10 тём, а в великом числе — тьму тем и т. д. 10⁵⁰ называли колодой.

Буквы алфавита, соответствующие числам 1—9, обведенные кружком, обозначали тьмы, обведенные кружком из точек — легионы, а кружком из лучей — леодры (леодр — в малом числе равнялся 10 легионам, т. е. 1 000, а в великом — 10²⁴ = легион легионов). Леодр леодров (10⁴⁸) назывался вороном.
Вопросы:

1. Какие прямые называются параллельными?
2. Какие практические способы построения параллельных прямых существуют?
   
3. Назовите свойство углов образованных при пересечении параллельных прямых секущей?

Список использованных источников:

1. Газета «Математика» № 27, 2000 год.
2. Энц. элем, мат., т. 1, М.-Л.; И. Я. Депман, История арифметики, Учпедгиз, М.
3. Федеральный общеобразовательный стандарт. Вестник образования. №12,2004.
4. Атанасян, Геометрия 7-9 класс.
5. "Наглядная геометрия". 7-й класс. Автор: Самылина Марина Валентиновна

Над уроком работали:

Самылина М.В.

Постурнак С.А.

Муха Р.Л.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.