Гіпермаркет Знань>>Математика>>Математика 6 клас>>Розкладання натуральних чисел на прості множники

Складене число 24 можна записати як добуток двох множників, наприклад, 24 = 6 • 4. Кажуть, що число 24 розкладено на два множники — 6 і 4. Числа 6 і 4 теж можна розкласти на множники: 6 = 3-2; 4 = 2-2. Тепер число 24 можна записати так: 24 = 3 • 2 • 2 • 2. У добутку 3 • 2 • 2 • 2 всі множники є простими числами. Отже, число 24 розкладено на прості множники.

Розкласти число на прості множники означає записати його у вигляді добутку простих чисел. Кожне складене число можна розкласти на прості множники. Наприклад:
210 = 2-3-5-7; 24 = 2 • 2 • 2 • 3 = 23 • 3;  18 = 2 • 3 • 3 = 2 • З2.

Розкладаючи числа на прості множники, можна знайти прості дільники цього числа. До того ж, варто використовувати ознаки подільності чисел. Щоб розкласти на множники великі числа, користуються спеціальною схемою.

Нехай потрібно розкласти на прості множники число 630. Записуємо це число і проводимо праворуч вертикальну риску. Найменшим простим дільником цього числа є 2; записуємо 2 праворуч від риски. Ділимо 630 на 2 і записуємо частку 315 ліворуч від риски під числом 630. Знаходимо тепер найменший простий дільник числа 315. Ним є число 3, записуємо його праворуч від риски. Ділимо 315 на 3, частку 105 записуємо ліворуч. Ділимо 105 на 3, отримуємо 35; 35 ділимо на 5, одержуємо 7. Число 7 просте, поділивши його на 7, маємо 1. Розклад закінчено.
Отже, 630 = 2 • 3 • 3 • 5 • 7 = 2 • З2 • 5 • 7.

Прочитайте
1.       Знайти всі дільники числа 126.
Розкладемо число 126 на прості множники:
126 = 2-3-3-7.

Дільниками числа 126 є: 1, прості числа 2, 3, 7 в одержаному розкладі та всі можливі добутки чисел 2, З, 3, 7, тобто:
1; 2; 3; 7; 2 • 3; 2 • 7; 3 • 3; 3 • 7; 2 • 3 • 3; 2 • 3 • 7; 3 • 3 • 7; 2-3-3-7. Отже, дільниками числа 126 є:
1;2;3;7; 6; 14; 9; 21; 18; 42; 63; 126. Запишемо всі дільники у порядку їх зростання:
1; 2; 3; 6; 7; 9; 14; 18; 21; 42; 63; 126.»

Усно
106. Чи є розкладами на прості множники такі добутки: 2-17;     1-7;    2-3-25;    23-3-11-23;    2-З2-5-27?

107. Розкладіть на прості множники числа: 4; 9; 10; 12; 50.

Рівень А
Розкладіть на прості множники числа:
108.    а)28,35,56,64,67; 6) 120,165,459,2000,17 787.
109. а) 33, 36, 74, 91, 98; б) 250, 408, 576, 11 100, 78 720!

Чи ділиться число п = 23 - 3 • 163 на 2; на 6; на 12?

111. Чи ділиться число п = 23 • З3 • 52 на 7 на 5; на 6; на 16; на 35?

112. Знайдіть усі дільники числа п, якщо:
а)n = 3-7 11; б)n = 22-17.

Знайдіть усі дільники чисел:
113. а) 42, 106, 110; б) 44, 54, 140.
114. а) 30,154,186; 6)45,56,242.

Рівень Б
115. Знайдіть усі дільники числа п = 23 • 41.

116. Знайдіть усі дільники числа 3144.

117. Знайдіть усі двоцифрові числа, розклад яких на прості множники складається із двох однакових множників.

118. Знайдіть усі двоцифрові числа, розклад яких на прості множники складається з двох множників, одним з яких є 17.

119*.   Замініть зірочку цифрою та знайдіть такі прості числа о, Ь, с, щоб була правильною рівність:
а)33* = а•3•5•11; б) *02 = 3 • 3 • а * Ь *с с.

Здогадайтеся
120. Дівчинку запитали: «Скільки грибів ти знайшла?». Вона відповіла: «Менше, ніж 100, і якби я розклала їх на купки або по 3, або по 4, або по 7 грибів, то в кожному випадку залишку не було б». Скільки грибів знайшла дівчинка?

Цікаві розповіді
Розташування простих чисел
Твердження про те, що кожне відмінне від 1 натуральне число можна записати у вигляді добутку простих множників і до того ж єдиним способом, якщо не брати до уваги порядок розміщення співмножників, є так званою основною теоремою арифметики — однієї з найдавніших математичних наук. (У перекладі з грецької мови «арифметика» — «мистецтво чисел».)

Відповідно до основної теореми арифметики прості числа є ніби цеглинами, з яких «будуються» натуральні числа. Цим і пояснюється увага до простих чисел з боку математиків усіх часів. Ще давньогрецький математик Евклід (бл. 365 - бл. 300 р. до н. е.) довів, що простих чисел є нескінченно багато, тому найбільшого простого числа не існує. Але ще й досі не з'ясовані закономірності розташування простих чисел у натуральному ряді.

Найталановитіші математики багатьох країн прагнули знайти закон розташування простих чисел.

У розв'язанні цього складного питання важливий результат одержав російський учений, академік Пафнутій Львович Чебишев (1821 - 1894). Він довів, що між будь-яким натуральним числом, яке більше від 1, і його подвоєнням завжди міститься хоча б одне просте число.

Про властивості простих чисел висловлено чимало цікавих гіпотез. Серед них найцікавішою є гіпотеза члена Петербурзької Академії Наук Хрістіана Гольдбаха (1690 - 1764), яка формулюється так: будь-яке натуральне число, більше від п'яти, є сумою трьох простих чисел.

Властивості простих чисел можна наочно уявити так:
а) уявімо прямолінійний дріт, що виходить із кімнати у світовий простір, проходить повз Місяць і далі за вогняну кулю Сонця — у нескінченність;
б) уявно підвісимо на ньому через кожен метр електричні лампочки і занумеруємо їх натуральними числами;
в) уявно увімкнемо світло з таким розрахунком, щоб засвітилися лампочки, номери яких с простими числами;
г) уявно полетимо уздовж цього дроту. Перед нами розгорнеться така картина.

1. Лампочка за номером 1 не світиться, оскільки одиниця не є простим числом.

2. Дві наступні лампочки за номерами 2 і 3 світяться, оскільки числа 2 і 3 — прості. Більше таких лампочок, які є сусідніми та світяться, не побачимо.

3. Спостерігатимемо пари лампочок, що світяться, які відповідають числам-близнюкам (3 і 5, 5 і 7, 11 і 13 тощо). Найбільшою із відомих пар чисел-близнюківє 10 999 949 і 10 999951.

4. Що далі летітимемо, то ставатиме темніше, бо рідше світитимуться лампочки. А ось настав чималий проміжок темноти. Але ми згадуємо властивість простих чисел, відкриту Евклідом, і сміливо рухаємося уперед, оскільки знаємо, що попереду ще обов'язково є лампочки, які світяться, і їх чимало.

5. Знову довго летимо, а попереду та позаду — темінь. Згадуємо властивість простих чисел, доведену Чебишевим, і прямуємо далі, впевнені в тому, що, пролетівши шлях, не більший від того, що пролетіли, ми обов'язково побачимо світло.

Вправи для повторення
121. Виконайте дії:
а) 0,2 • 0,35 + 1,2 • 0,35 + 2,2 • 0,35 + 3,2 • 0,35 + 4,2 • 0,35;
б) (1705: 100-205: 100)2; в) (135 • 50-80 • 50): 10000.

122. Автомобіль проїхав 178км за Згод. За перші дві години він проїхав 121 км, а за дві останні — 118 км. Скільки кілометрів проїхав автомобіль за другу годину?

123. З містам до міста В, відстань між якими 140 км, вирушив вантажний автомобіль зі швидкістю 56 км/год. Коли він проїхав 28 км, услід за ним вирушив легковий автомобіль. Знайдіть швидкість легкового автомобіля, якщо до міста В обидва автомобілі прибули одночасно.

Математика 6 клас Галина Янченко, Василь Кравчук

Вислано читачами iнтернет-сайту

_{Онлайн-бібліотека з підручникамиі книгами, тести з математики, завдання з математики 6 клас, календарне планування}

 конспект уроку і опорний каркас                      
 презентація уроку 
 акселеративні методи та інтерактивні технології
 закриті вправи (тільки для використання вчителями)
 оцінювання 

Практика
 задачі та вправи,самоперевірка 
 практикуми, лабораторні, кейси
 рівень складності задач: звичайний, високий, олімпійський
 домашнє завдання 

Ілюстрації
 ілюстрації: відеокліпи, аудіо, фотографії, графіки, таблиці, комікси, мультимедіа
 реферати
 фішки для допитливих
 шпаргалки
 гумор, притчі, приколи, приказки, кросворди, цитати

Доповнення
 зовнішнє незалежне тестування (ЗНТ)
 підручники основні і допоміжні 
 тематичні свята, девізи 
 статті 
 національні особливості
 словник термінів                          
 інше 

Тільки для вчителів
 ідеальні уроки 
 календарний план на рік 
 методичні рекомендації 
 програми
 обговорення

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.