Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс>>Математика:Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов

               Разложение многочлена на множители

                                      с помощью 

                   комбинаций различных приёмов

В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой! и т. д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать к план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт.  Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим в данном параграфе.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

36a⁶b³ - 96а⁴b⁴ + 64а²b⁵.

Решение.

1) Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причем это — наибольший общий делитель, вынесем его за скобки. Во все члены многочлена входит переменная а (соответственно а⁶, а⁴, а²), поэтому за скобки можно вынести а².

Точно так же во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b³, b⁴, b5) — за скобки можно вынести b³.

Итак, за скобки вынесем 4а²b³. Тогда получим:

36a⁶b⁶ - 96a⁴b⁴ + 64a2b⁵ = 4a²b³(9a⁴ - 24a2b + 16b²).

2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a⁴ - 24a²b + 16b². Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем:
9а⁴ - 24а²Ь + 16b² = (За²)² + (4b)² - 2 • За² • 4b.

Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно,
9a⁴ - 24a²b + 16b² = (За² - 4b)².

3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат:

36a⁶b³ - 96a⁴b⁴ + 64a²b⁵ = 4a²b³(3a² - 4b)².

Пример 2. Разложить на множители: а²- с² + b² + 2ab.

Решение. 1) Сначала попробуем воспользоваться способом группировки. До сих пор четыре слагаемых мы разбивали на группы по парам (см. § 21). Здесь это не проходит.

Действительно,

а²-с² + Ь² + 2аЬ = (а² - с²) + (b² + 2ab) =  (а-с)(а + с) + b(b + 2а).

Эта группировка неудачна, нет общего множителя. Попробуем по-другому:

а²-с² + b² + 2аb - (а² + b²) + (- с² + 2ab) — здесь также ничего хорошего нет.

Третья попытка:
а²-с² + b²+ 2аb = (a² + 2ab) + (-с² + b²) =  а (а + 2b) + (b - с) (b + с)
— и здесь нет общего множителя.

Однако все-таки способ группировки в этом к примере сработает. Ведь ниоткуда не следует, что группировать слагаемые можно только по парам, это можно сделать и так:

 а²-с² + Ь² + 2аЬ = (a² + 2ab + Ь²) -с² = (а + b)² - с².

Теперь вы отчетливо видите структуру данного многочлена: разность квадратов.

2) К полученному выражению применим формулу разности квадратов:
(a+ b)² - c² =((a + b )- c) (a + b )+ c =(a + b - c ) (a + b + c)

Итак, комбинируя два приема (группировку и использование формул сокращенного умножения — квадрат суммы и разность квадратов), мы получили окончательный результат:

a² - с² + b² + 2аb = (а + b - с) (a + b + с).

Пример 3. Разложить на множители: x⁴ + 4у⁴.

Решение. Проанализируем структуру данного двучлена. Что такое x⁴? Это (x²)². Что такое 4у⁴? Это (2у²)2. Значит, имеем сумму квадратов (x²)² + (2у²)². Обычно, увидев сумму квадратов двух выражений (чисел, одночленов, многочленов), математик ищет удвоенное произведение этих выражений для того, чтобы получить полный квадрат. В данном случае таким удвоенным произведением будет 2 • x² • 2у², т.е. 4х²у². Но его в примере нет.
Что же делать?

Прибавим к заданному многочлену то, что нам нужно, но, чтобы ничего не изменилось, тут же и вычтем:

(x²)² + (2у²)² + 4x²у² - 4х²у².

Это дает возможность сгруппировать первые три члена так, что выделится полный квадрат. Дальнейшее решение идет по плану примера 2.

Приведем полное решение примера, уже без комментариев:

х⁴ + 4у⁴ = (х²)² + (2у²)² = ((х²)²+(2у²)² + 4х²у²) - 4х²у² =
= (х² + 2у²)² - (2ху)² = (х² + 2у² - 2ху) (х² + 2у² + 2ху).

 В этом примере мы впервые применили метод к выделения полного квадрата. Он будет полезен нам и в дальнейшем, в частности, при решении следующего примера.

Пример 4. Разложить на множители:

 х⁴ + х²а² + а⁴,

 Решение. Применим метод выделения полного квадрата Для этого представим х а в виде
2х²a² - х²а².

Получим:

x⁴ + x²a² + a⁴ = x⁴ + 2x²a² - x²a² + a⁴ = (x⁴ + 2x²a²  + a⁴) - x²a² =

=  (x² + a²)² - (xa)² = (x² + a² - xa)(x² + a² + xa)

А теперь вернитесь, пожалуйста, к замечанию, которое было сделано в § 22 (см. пример 2). Как видите, мы выполнили данное там обещание.

Пример 5. Разложить на множители:n³ + Зn² + 2n.

Решение. Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n (n² + Зn + 2).

Теперь к трехчлену n² + Зn + 2 применим способ группировки, предварительно представив Зn в виде 2n + n. Получим:

n² + Зn + 2 = n² + 2n + n + 2 = (n² + 2n) + (n + 2) =
=n (n + 2) + (n + 2) - (n + 2) (n + 1).

Окончательно получаем:

n³ + Зn² + 2n =n(n+1)(n + 2).

Этим разложением мы уже воспользовались в § 19. Правда, там это было сделано без обоснований, зато теперь все стало на свои места.

Пример 6. Вычислить 38,8² + 83 • 15,4 - 44,2².

Решение. Последовательно применим группировку, формулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя за скобки. Эта совокупность алгебраических приемов позволит провести арифметические вычисления легко и изящно:

38,8² + 83 •15,4 - 44,2² = 83 • 15,4 -( 44,2² - 38,8²) =

= 83 • 15,4 - ( 44,2 - 38,8) ( 44,2 + 38,8) = 83 • 15,4 - 5,4 • 83 =

= 83(15,4 - 5,4) = 83 •  10 = 830.

Заканчивая этот параграф, вернемся к тому, с чего мы начинали главу 5. В § 19 мы говорили о том, что разложение на множители — один из методов решения уравнений. В следующем примере мы и воспользуемся этим методом.

Предварительно отметим следующее. В математике и смежных науках часто встречаются уравнения вида ax² + Ьx + с = 0, где а,b,с — не переменные, а числа. Например, 2x² - Зx + 2 = 0, x² + 4x - 8,5 = 0 и т. д. Такие уравнения называют квадратными, мы специально займемся их изучением в 8 классе. Впрочем, некоторые квадратные уравнения можно и теперь решить. Одно квадратное уравнение мы уже решили выше в § 21 (см. пример 5), сейчас решим еще одно, причем даже двумя способами (правда, обычно делают не так, а пользуются готовыми формулами для решения квадратных уравнений, но вы их пока не знаете).

Пример 7. Решить уравнение x² - 6x + 5 = 0.

Решение.

Первый способ. Представим -x в виде суммы - x - 5x, а затем применим способ группировки:
x² - 6x + 5 = x² - x - 5x + 5 = (x² - х) + (- 5х + 5) = x( x - 1) - 5( x -1) =( x -1)( x - 5)
заданное уравнение примет вид:
(x-1)(x-5) = 0,
откуда находим, что либо х = 1, либо х = 5.

Второй способ. Применим метод выделения полного квадрата, для чего представим слагаемое 5 в виде 9-4. Получим:
х² - 6х + 5 = х² - 6х + 9 - 4 =(x -3 )² -2² = (х -3 - 2)(x - 3 + 2) = ( x - 1)(x - 5) = 0
Снова пришли к уравнению (х - 1) (х - 5) = 0, имеющему корни 1 и 5.

О т в е т: 1, 5.

_{Видеопо математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам онлайн}

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.