Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика:Разбиение пространства плоскостью на два полупространства

Разбиение пространства плоскостью на два полупространства

Теорема 15.4. Плоскость разбивает пространство на два полупространства. Если точки X и Y принадлежат одному полупространству, то отрезок XY не пересекает плоскость. Если же точки X uY принадлежат разным полупространствам, то отрезок XY пересекает плоскость.

Доказательство (не для запоминания). Пусть — данная плоскость. Отметим точку А, не лежащую в плоскости . Такая точка существует по аксиоме C₁.

Разобьем все точки пространства, не лежащие в плоскости , на два полупространства следующим образом. Точку X отнесем к первому полупространству, если отрезок АХ не пересекает плоскость , и ко второму полупространству, если отрезок АХ пересекает плоскость . Покажем, что это разбиение пространства обладает свойствами, указанными в теореме.
 

 
Пусть точки X и Y принадлежат первому полупространству. Проведем через точки А, X и Y плоскость ^, . Если плоскость ^,    не пересекает плоскость , то отрезок XY тоже не пересекает эту плоскость.

Допустим, что плоскость ^, пересекает плоскость ( рис. 319). Так как плоскости различны, то их пересечение происходит по некоторой прямой а.

Прямая а разбивает плоскость ^,     на две полуплоскости. Точки X и Y принадлежат одной полуплоскости, именно той, в которой лежит точка А.

Поэтому отрезок XY не пересекает прямую а, а значит и плоскость .

Если точка X и Y принадлежат второму полупространству, то плоскость ^, заведомо пересекает плоскость , так как отрезок АХ пересекает плоскость а.

Точки X и Y принадлежат одной полуплоскости разбиением плоскости ^,    прямой а. Следовательно отрезок XY не пересекает прямую а, значит и плоскость .

Если , наконец, точка Х пренадлежит одному полупространству, а точка Y - другому, то плоскость ^,   пересекает плоскость , а точки X и Y лежат в разных полуплоскостях плоскости ^, относительно прямой а. Поэтому отрезок XY пересекает прямую а, а значит и плоскость . Теорема доказана.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.