Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Равносильность уравнений

Равносильность уравнений

В этом параграфе речь пойдет о принципиальных вопросах, связанных с решением уравнений с одной переменной: что такое равносильные уравнения; какие преобразования уравнений являются равносильными, а какие — нет; когда надо делать проверку найденных корней и как ее делать. Эти вопросы вы обсуждали в курсе алгебры, начиная с 8-го класса, да и в настоящем учебнике о них уже шла речь, например, при решении показательных и логарифмических уравнений. Почему мы снова к ним возвращаемся? Потому что, завершая изучение школьного курса алгебры, целесообразно как бы заново переосмыслить общие идеи и методы.

Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и р (х) =h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Например, уравнения

равносильны, оба они имеют по два корня: 2 и -2. Равносильны и уравнения

поскольку оба они не имеют корней.

Определение 2. Если каждый корень уравнения

f(х) = g(х)    (1)

является в то же время корнем уравнения

р(x) = h(х),    (2)

то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Например, уравнение x-2 =3 имеет корень х = 5, а уравнение (х-2)² =9 имеет два корня: х₁ =5, х² = -1. Корень уравнения х~2=3 является одним из корней уравнения (х-2)² =9. Значит, уравнение (х-2)² =9 — следствие уравнения х-2 =3.

Достаточно очевидным является следующее утверждение:

Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
Схему решения любого уравнения можно описать так: заданное уравнение (1) преобразуют в уравнение (2), более простое, чем уравнение (1); уравнение (2) преобразуют в уравнение (3), более простое, чем уравнение (2), и т.д.:

(1) -(2) -(3) -(4) -»...

В конце концов получают достаточно простое уравнение и находят его корни. В этот момент и возникает главный вопрос: совпадает ли множество найденных корней последнего уравнения с множеством корней исходного уравнения (1)? Если все преобразования были равносильными, т.е. если были равносильны уравнения (1) и (2), (2) и (3), (3) и (4) и т.д., то ответ на поставленный вопрос положителен: да, совпадает. Это значит, что, решив последнее уравнение цепочки, мы тем самым решим и первое (исходное) уравнение цепочки. Если же некоторые преобразования были равносильными, а в некоторых мы не^уверены, но точно знаем, что переходили с их помощью к уравнениям-следствиям, то однозначного ответа на поставленный вопрос мы не получим.

Чтобы ответ на вопрос был более определенным, нужно все найденные корни последнего уравнения цепочки проверить, подставив их поочередно в исходное уравнение (1). Если проверка показывает, что найденный корень последнего уравнения цепочки не удовлетворяет исходному уравнению, его называют посторонним корнем', естественно, что посторонние корни в ответ не включают.

Вы, конечно, понимаете, что термин «более простое уравнение» вообще говоря, не поддается, точному описанию. Обычно считают одно уравнение более простым, чем другое, по чисто внешним признакам. Например, решая уравнение  получаем  сначала    это иррациональное уравнение проще заданного «показательно-иррационального» уравнения. Далее, возведя обе части иррационального уравнения в квадрат, получим 2х+7 =(х-3)²; это рациональное уравнение проще, чем предыдущее иррациональное уравнение.
В итоге можно сказать, что решение уравнения, как правило, осуществляется в три этапа:

Первый этап— технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) —»(2) —»(3) —>(4) —»... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап— анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап— проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.

1.    Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
2.    Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
3.    Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
4.    В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Ответу на каждый из вопросов отведен отдельный пункт данного параграфа.

1. Теоремы о равносильности уравнений. Решение уравнений, встречающихся в школьном курсе алгебры, основано на шести теоремах о равносильности (все они в той или иной мере вам известны). Первые три теоремы — «спокойные», они гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение,равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение

Следующие три теоремы — «беспокойные», они работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений. Прежде чем формулировать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии, связанном с уравнениями.

Определение 3. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений (ОДЗ) переменной называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(х) и g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(х)=g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а)    имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(х) = g(х);
б)    нигде в этой области не обращается в 0 — то получится уравнение f(х) h(х) = g(х) h(х),равносильное данному.

Замечание 1. Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(х) = g(х) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень п получится уравнение, равносильное данному: f(х)ⁿ = g (x)ⁿ .

Теорема 6. Если f(х) > 0 и g (х) > 0, то логарифмическое уравнение

равносильно уравнению f(х) = g(x).

2. Преобразование данного уравнения в уравнение-следствие. В этом пункте мы ответим на второй вопрос: какие преобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие?

Частично ответ на этот вопрос связан с тремя последними теоремами. Можно сказать так: если в процессе решения уравнения мы применили заключение одной из теорем 4, 5, 6, не проверив выполнения ограничительных условий, заложенных в формулировках теорем, то получится уравнение-следствие. Приведем примеры.

1) Уравнение х-1=3 имеет один корень х = 4. Умножив обе части уравнения на х-2, получим уравнение(g;-1)(g; -2) = 3(х-2), имеющее два корня: (x) =4 и х2 =2. Второй корень является посторонним для заданного уравнения. Причина его появления состоит в том, что мы умножили обе части уравнения на одно и то же выражение, нарушив при этом условия теоремы 4. В этой теореме содержится требование: выражение, на которое мы умножаем обе части уравнения, нигде не должно обращаться в 0. Мы же умножили обе части уравнения на выражение х-2, которое обращается в 0 при х=2; именно это значение оказалось посторонним корнем.

2)    Возьмем то же самое уравнение х-1=3 и возведем обе его части в квадрат. Получим уравнение (х-1)² =9, имеющее два корня: х^г =4, х^г =-2. Второй корень является посторонним для уравнения х-1 = 3 Причина его появления состоит в том, что мы возвели обе части уравнения в одну и ту же четную степень, нарушив при этом условие теоремы 5. В этой теореме содержится требование: обе части уравнения должны быть неотрицательны. Про выражение х-1 этого утверждать мы не можем.

3)    Рассмотрим уравнение ln(2х-4) =ln(Зх-5). Потенцируя, получим уравнение 2х-4 = Зх-5 с единственным корнем х = 1. Но этот корень является посторонним для заданного логарифмического уравнения, поскольку оба выражения под знаками логарифмов при х = 1 принимают отрицательные значения. Причина появления постороннего корня состоит в том, что мы, потенцируя (т.е. «освобождаясь» от знаков логарифмов), нарушили условия теоремы 6. В этой теореме содержится требование: выражения под знаками логарифмов должны быть положительными; о выражениях 2х-4и Зх-5этого утверждать мы не можем, так как они при одних значениях х положительны, при других — отрицательны.

В последнем примере переход от логарифмического уравнения к уравнению 2х-4=3х-5 привел к расширению области определения уравнения. Область определения логарифмического уравнения задается системой неравенств:

решив которую находим: х > 2. Область же определения уравнения 2х-4 = Зх-5 есть множество всех действительных чисел. По сравнению с логарифмическим уравнением ощ расширилась: добавился луч . Именно в эту добавленную часть и «проник» посторонний корень х = 1.

Перечислим возможные причины расширения области определения уравнения:

1.    Освобождение в процессе решения уравнения от знаменателей, содержащих переменную величину.
2.    Освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней четной степени.
3.    Освобождение в процессе решения уравнения от знаков логарифмов.

Подведем итоги. Исходное уравнение преобразуется в процессе решения в уравнение-следствие, а значит, обязательна проверка всех найденных корней, если:

1)    произошло расширение области определения уравнения;
2)    осуществлялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень;
3)    выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение с переменной (разумеется, имеющее смысл во всей области определения уравнения).

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.