Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

§ 35. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

1. Исследование функций на монотонность

На рис. 129 представлен график некоторой возрастающей дифференцируемой функции у = f(х). Проведем касательные к графику в точках х= х₁ и х- х₂. Что общего у построенных прямых? Общее то, что они составляют с осью х острый угол, а значит, у обеих прямых положительный угловой коэффициент. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Таким образом,  А вточке x=x₃ касательная параллельна оси х, в этой точке выполняется равенство f'(Х₃) =0. Вообще в любой точке х из области определения возрастающей дифференцируемой функции выполняется неравенство

На рис. 130 представлен график некоторой убывающей дифференцируемой функции у = f(х). Проведем касательные к графику в точках х= х₁ и х= х₂.    У построенных прямых? Общее то, что обе они составляют с осью х тупой угол, а значит, у обеих прямых отрицательный угловой коэффициент. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Таким образом, А в точке х=х₃ касательная параллельна оси х, в этой  точке выполняется равенство f'(х₃) =0. Вообще в любой точке х из области определения убывающей дифференцируемой функции выполняется неравенство
Эти рассуждения показывают, что между характером монотонности функции и знаком ее производной есть определенная связь:

если функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неотрицательна; если функция убывает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неположительна.
Для практики гораздо важнее то, что верны и обратные теоремы, показывающие, как по знаку производной можно установить характер монотонности функции на промежутке. При этом, во избежание недоразумений, берут только открытые промежутки, т.е. интервалы или открытые лучи. Дело в том, что для функции, определенной на отрезке [а, Ь], не очень корректно ставить вопрос о существовании и о значении производной в концевой точке (в точке х= а или в точке х= Ъ), поскольку в точке х = а приращение аргумента может быть только положительным, а в точке х = Ъ — только отрицательным. В определении производной такие ограничения не предусмотрены.

Доказательства этих теорем проводят обычно в курсе высшей математики. Мы ограничимся проведенными выше рассуждениями «на пальцах» и для вящей убедительности дадим еще физическое истолкование сформулированных теорем.

Пусть по прямой движется материальная точка, s =s(t) — закон движения. Если скорость все время положительна, то точка постоянно удаляется от начала отсчета, т.е. функция s = s(t) возрастает. Если же скорость все время отрицательна, то точка постоянно приближается к началу отсчета, т.е. функция s = s(t) убывает. Если скорость движения была положительна, затем в какой-то отдельный момент времени обратилась в нуль, а потом снова стала положительной, то движущееся тело в указанный момент времени как бы притормаживает, но все равно продолжает удаляться от начальной точки. Так что и в этом случае функция s = s(t) возрастает. А что такое скорость? Это производная пути по времени. Значит, от знака производной (скорости) зависит характер монотонности функции — в данном случае функции s = s(t). Об этом как раз и говорят обе сформулированные теоремы.

Пример 1. Доказать, что функция возрастает на всей числовой прямой.
Решение. Найдем производную заданной функции:

Очевидно, что при всех х выполняется неравенство . Значит, по теореме 1, функция возрастает на всей числовой прямой.   

Пример 2. а) Доказать, что функция у = 5соз х + зт4х - 10х убывает на всей числовой прямой;
б) решить уравнение 5соз х + sin4х - 10х = х³ + 5.

Решение, а) Найдем производную заданной функции:

Полученное выражение всегда отрицательно. В самом деле, для всех значений х выполняются неравенства:

Это неравенство выполняется при всех значениях х. Значит, по теореме 2, функция убывает на всей числовой прямой.

б) Рассмотрим уравнение 5соз х + sin4х - 10х = х³ + 5. Как было установлено только что, у = 5соsх + sin4х-10х — убывающая функция. В то же время у = х³ +5 — возрастающая функция. Имеет место следующее утверждение: если одна из функций у = f(х) или у = s(х) возрастает, а другая убывает и если уравнение f(х) = g(х) имеет корень, то только один (рис. 131 наглядно иллюстрирует это утверждение). Корень заданного уравнения подобрать нетрудно — это число х= 0 (при этом значении уравнение обращается в верное числовое равенство 5 = 5).
Итак, х = 0 — единственный корень заданного уравнения.  

Пример 3. а) Исследовать на монотонность функцию у = 2х³ + Зх² -1; б) построить график этой функции.

Решение, а) Исследовать функцию на монотонность — это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких убывает. Согласно теоремам 1 и 2 это связано со знаком производной.

Найдем производную данной функции: f'(х)=6х²+6х и далее f'(х)=6x(х + 1).

На рис. 132 схематически указаны знаки производной по промежуткам области определения: на луче (-оо,-1) производная положительна, на интервале (-1,0) — отрицательна, на луче (0,+ — положительна. Значит, на первом из  указанных промежутков функция возрастает, на втором убывает, на третьем возрастает.

Обычно, если функция непрерывна не только на открытом промежутке, но и в его концевых точках, эти концевые точки включают в промежуток монотонности функции.

Таким образом, заданная функция возрастает на луче  , возрастает на луче убывает на отрезке [-1,0].

б) Графики функций строят «по точкам». Для этого надо составить таблицу значений функции у= 2х3 +3х² -1, куда обязательно следует включить значения функции в концевых точках промежутков монотонности х = -1 и х = 0 и еще пару-тройку значений:

Отметим эти точки на координатной плоскости. Учтем найденные в п. а) промежутки возрастания и убывания функции, а также то, что в точках х = -1 и х = 0 производная функции равна нулю, т.е. касательная к графику функции в указанных точках параллельна оси абсцисс, более того, в точке (-1; 0) она даже совпадает с осью абсцисс. Учтем, наконец, то, что функция непрерывна, т.е. ее графиком является сплошная линия. График заданной в условии функции изображен на рис. 133. 

Завершая рассуждения по исследованию функций на монотонность, обратим внимание на одно обстоятельство. Мы видели, что если на промежутке X выполняется неравенство f'(x) >0, то функция у-f(х) возрастает на промежутке X; если же на  промежутке X выполняется неравенство f'(x) < 0, то функция убывает на этом промежутке. А что будет, если на всем промежутке выполняется тождество (х) =0 ? Видимо, функция не должна ни возрастать, ни убывать. Что же это за функция? Ответ очевиден — это постоянная функция у = С (буква С — первая буква слова соп81ап1а, что означает «постоянная»). Справедлива следующая теорема, формальное доказательство которой мы не приводим, ограничиваясь приведенными выше правдоподобными рассуждениями.

В дальнейшем эта теорема будет нами востребована, т.е. в ее пользе для математики мы сумеем убедиться. А сейчас приведем (для наиболее любознательных) пример использования теоремы 3 (из разряда математических развлечений). Мы приведем новый способ доказательства хорошо вам известного тождества sin²x + cos² x= 1.
Рассмотрим функцию у = f(х), где f(х) = sin² х+соs² х. Найдем ее производную:

Итак, для всех х выполняется равенство f'(х) =0, значит, f(х) = С. Чтобы найти значение С, достаточно вычислить значение функции в любой точке х, например, х = 0. Имеем: f(0) = sin² 0+соs2 0=0 + 1 = 1.

Таким образом, С = 1, т. е. sin² х+соs² х = 1

2. Точки экстремума функции и их отыскание

Вернемсяк графику функции у=2 х³ +3х² -1(рис. 133). На графике есть две уникальные точки, определяющие его структуру, — это точки (-1; 0) и (0; -1). В этих точках:

1)    происходит изменение характера монотонности функции (слева от точки х = -1 функция возрастает, справа от нее, но только до точки х =0, функция убывает; слева от точки х =0 функция убывает, справа от нее возрастает);

2)    касательная к графику функции параллельна оси х, т.е. производная функции в каждой из указанных точек равна нулю;

3)    f(-1) — наибольшее значение функции, но не во всей области определения, а в локальном смысле, т.е. по сравнению со значениями функции из некоторой окрестности точки х = -1. Точно так же f(0) — наименьшее значение функции, но не во всей области определения, а в локальном смысле, т.е. по сравнению со значениями функции из некоторой окрестности точки х = 0.

А теперь взгляните на рис. 134, где изображен график другой функции. Не правда ли, он похож на предыдущий график? На нем те же две уникальные точки, но одна из указанных выше трех особенностей этих точек изменилась: теперь касательные к графику в этих точках не параллельны оси х. В точке х = -1 касательная вообще не существует, а в точке х = 0 она перпендикулярна оси х (точнее, она совпадает с осью у).

Дальнейший ход рассуждений вам уже известен: если появляется новая математическая модель или новая особенность математической модели, ее надо специально изучить, т.е. ввести новый термин, новые обозначения, сформулировать новые свойства.

Определение 1. Точку х =х₀ называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х =х₀) выполняется неравенство:
f(х)>f(х0).

Так, функции, графики которых изображены на рис. 133 и 134, имеют точку минимума х=0. Почему? Потому что у этой точки существует окрестность, например, или (-0,2, 0,2), для всех
точек которой, кроме точки х= 0, выполняется неравенство f(х) > f(О). Это верно для обеих функций.
Значение функции в точке минимума обычно обозначают . Не путайте это значение (наименьшее, но в локальном смысле) с т.е. с наименьшим значением функции во всей рассматриваемой области определения (в глобальном смысле). Посмотрите еще раз на рис. 133 и 134. Вы видите, что наименьшего значения нет ни у той, ни у другой функции, а существует.

Определение 2. Точку х = х₀ называют точкой максимума функции у=f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, кроме самой точки х = х₀, выполняется неравенство:
f(х)<f(х₀).

Так, функции, графики которых изображены на рис. 133 и 134, имеют точку максимума х= — 1. Почему? Потому что у этой точки
существует окрестность, например, , для всех точек которой, кроме х=-1, выполняется неравенство f(х) < f(-1). Это верно для обеих функций.
Значение функции в точке максимума обычно обозначают . Не путайте это значение (наибольшее, но в локальном смысле) с ., т.е. с наибольшим значением функции во всей рассматриваемой области определения (в глобальном смысле). Посмотрите еще раз на рис. 133 и 134. Вы видите, что наибольшего значения нет ни у той, ни у другой функции, а существует.

Точки минимума и максимума функции объединяют общим термином — точки экстремума (от латинского слова ехtremum — «крайний»).

Как искать точки экстремума функции? Ответ на этот вопрос мы сможем найти, еще раз проанализировав графические модели, представленные на рис. 133 и 134.

Обратите внимание: для функции, график которой изображен на рис. 133, в обеих точках экстремума производная обращается в нуль (касательные параллельны оси х). А для функции, график которой изображен на рис. 134, в обеих точках экстремума производная не существует. Это не случайно, поскольку, как доказано в курсе математического анализа, справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке х = х₀, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Для удобства условимся внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называть стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная функции не существует, — критическими.

Пример 4. Построить график функции у = 2х² -6х + 3.

Решение. Вам известно, что графиком заданной квадратичной функции является парабола, причем ветви параболы направлены вверх, поскольку коэффициент при хг положителен. Но в таком случае вершина параболы является точкой минимума функции, касательная к параболе в ее вершине параллельна оси х, значит, в вершине параболы должно выполняться условие у'=0. Имеем: у'=(2х² -6х + 3)'=4х-6.

Приравняв производную нулю, получим: 4х-6=0; х = 1,5.

Подставив найденное значение х в уравнение параболы, получим:

у = 21,52 - 6-1,5 + 3 = -1,5. Итак, вершиной вдраболы служитточка(1,5; -1,5), а осью параболы — прямая х=1,5 (рис. 135). В качестве контрольных точек удобно взять точку (0; 3) и симметричную ей относительно оси параболы точку (3; 3). На рис. 136 по найденным трем точкам построена парабола — график заданной квадратичной функции.

Помните ли вы, как мы строили график квадратичной функции у=ах² +Ьх+с в 8—9-м классах? Практически так же, лишь ось параболы находили не с помощью производной, а по формуле которую приходилось запоминать. Решение, показанное в примере 4, освобождает вас от необходимости помнить эту формулу. Чтобы найти абсциссу вершины параболы у=ах² +Ъх+с или уравнение ее оси симметрии, достаточно приравнять нулю производную квадратичной функции.

А теперь вернемся к теореме 4, которая говорит, что если в точке х = х⁰ функция у = f(х) имеет экстремум, то х = х⁰ — стационарная или критическая точка функции. Возникает естественный вопрос: верна ли обратная теорема, т.е. верно ли, что если х = х⁰ — стационарная или критическая точка, то в этой точке функция имеет экстремум? Отвечаем: нет, неверно. Посмотрите на рис. 137, где изображен график возрастающей функции, не имеющей точек экстремума. У этой функции есть стационарная точка х = х¹,в которой производная обращается в нуль (в этой точке график функции имеет касательную, параллельную оси х), но это не точка экстремума, а точка перегиба, и есть критическая точка х =х², в которой производная не существует, но это также не точка экстремума, а точка излома графика. Поэтому скажем так: теорема 4 дает только необходимое условие экстремума (справедлива прямая теорема), но оно не является достаточным условием (обратная теорема не выполняется).   

A кaк же быть с достаточным условием? Как узнать, есть ли в стационарной или в критической точке экстремум? Для ответа на этот вопрос снова рассмотрим графики функций, представленные на рис. 133, 134, 136 и 137.
Замечаем, что при переходе через точку максимума (речь идет о точке х = -1 на рис. 133 и 134) изменяется характер монотонности функции: слева от точки максимума функция возрастает, справа убывает. Соответственно изменяются знаки производной: слева от точки максимума производная положительна, справа отрицательна.
Замечаем, что при переходе через точку минимума (речь идет о точке х=0 на рис. 133 и 134 и о точке х = 1,5 на рис. 136) также изменяется характер монотонности функции: слева от точки минимума функция убывает, справа возрастает. Соответственно изменяются знаки производной: слева от точки минимума производной отрицательна, справа положительна.

Если же и слева, и справа от стационарной или критической точки производная имеет один и тот же знак, то в этой точке экстремума нет, именно так обстоит дело с функцией, график которой изображен на рис. 137.
Наши рассуждения могут служить подтверждением (но, конечно, не доказательством — строгие доказательства проводятся в курсе математического анализа) справедливости следующей теоремы.

Теорема 5 (достаточные условия экстремума). Пусть функция у=f(х) непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x = x₀.

Тогда:

а)    если у этой точки существует такая окрестность, что в ней при х<х₀ выполняется неравенство f(x) < 0,а при x > x₀ — неравенство f"x)>0, то x =x₀ — точка минимума функции У=f(х);

б)    если у этой точки существует такая окрестность, что в ней при x < x₀ выполняется неравенство f"(x) > О, а при x > x₀ — неравенство f(х) < О, то x = x₀ — точка максимума функции У=f(х);

в)    если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x₀ знаки производной одинаковы, то в точке x = x₀ экстремума нет.

Пример 5. а) Найти точки экстремума функции
у = 3х⁴ -16х³ + 24х2 -11; б) построить график этой функции.

Решение, а) Найдем производную данной функции:

Производная обращается в нуль в точках х = О и х = 2 — это две стационарные точки заданной функции. На рис. 138 схематически указаны знаки производной по промежуткам области определения: на промежутке производная отрицательна, на промежутке (0, 2) — положительна, на промежутке — положительна.
Значит, х = 0 — точка минимума функции, а х = 2 точкой экстремума не является. На первом из указанных выше промежутков функция убывает, на втором и третьем возрастает.

В точке минимума х = 0 имеем f(0) = —11 (подставили значение х = 0 в аналитическое задание функции), значит, = -11.

б) Чтобы построить график функции, нужно знать особо важные точки графика. К таковым относятся:
—    найденная точка минимума (0; -11);

—    стационарная точка х = 2; в этой точке

—    точки пересечения с осями координат; в данном примере это уже найденная точка (0; -11) — точка пересечения графика с осью у. И еще: можно догадаться, что f(1)=0, значит, найдена точка пересечения графика с осью х — это точка (1; 0).

Итак, мы имеем точку минимума (0; -11), точку пересечения графика с осью х — точку (1; 0) и стационарную точку (2; 5). В этой точке касательная к графику функции горизонтальна, но это не точка экстремума, а точка перегиба.

График функции схематически изображен на рис. 139. Заметим, что есть еще одна точка пересечения графика с осью абсцисс, но найти ее нам не удалось.

Завершая этот пункт, заметим, что мы фактически выработали

Алгоритм иследования непрерывной функции 'у = f(х)'на монотонность и экстремумы

1.    Найти производную f'(х).
2.    Найти стационарные и критические точки.
3.    Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
4.    Опираясь на теоремы из § 35, сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума.
Заметим, что если заданная функция имеет вид то полюсы функции, т.е. точки, в которых знаменатель q(х) обращается в нуль, тоже отмечают на числовой прямой, причем делают это до определения знаков производной. Но, разумеется, полюсы не могут быть точками экстремума.
Пример 6. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.
Решение. Заметим, что функция всюду непрерывна, кроме точки х = 0. Воспользуемся указанным выше алгоритмом.
1) Найдем производную заданной функции:

2) Производная обращается в нуль в точках х = 2 и х = -2 — это стационарные точки. Производная не существует в точке х = 0, но это не критическая точка, это точка разрыва функции (полюс).

3)    Отметим точки -2, 0 и 2 на числовой прямой и расставим знаки производной на получившихся промежутках (рис. 140).

4)    Делаем выводы: на луче(-°°, -2] функция убывает, на полуинтервале   [-2, 0) функция возрастает, на полуинтервале (0, 2] функция убывает, на луче [2, + функция возрастает.

Далее, х = -2 — точка минимума, причем (подставили значение x= -2  в формулу
Аналогично устанавливаем, что и х = 2 точка минимума, причем

3. Построение графиков функций

За годы изучения курса алгебры в школе вы накопили достаточно большой опыт построения графиков функций. В основном вы строили графики «по точкам», т.е. для заданной функции у = f(х) находили контрольные точки и т.д., отмечали их на координатной плоскости и, полагаясь на интуицию, соединяли найденные точки плавной кривой. Как выбирали эти контрольные точки? Иногда обдуманно, например, строили вершину параболы у=ах² +Ъх+с или специально искали точки пересечения графика с осями координат. Но чаще выбор контрольных точек был случайным, «по наитию».

Графики любых функций строят по точкам. Но в тех случаях, когда вид графика заранее неизвестен, эти точки надо выбирать со смыслом — уметь выделять особо важные точки графика, которые определяют его структуру. Об этом мы уже говорили выше, когда строили графики функций у=2х³ +3х² -1 (см. рис. 133) и у=Зх⁴ -16х³ +24х² -11(см. рис. 139). К особо важным точкам графика функции у = f(х) относят:

—    стационарные и критические точки;
—    точки экстремума;
—    точки пересечения графика с осями координат;
—    точки разрыва функции.

В тех случаях, когда речь идет о построении графика незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять определенную схему исследования свойств функции, которая помогает составить представление о ее графике. Когда такое представление составится, можно приступить к построению графика по точкам.

В курсе математического анализа разработана универсальная схема исследования свойств функции и построения графика функции, позволяющая строить весьма сложные графики. Для наших нужд будут достаточны упрощенные варианты указанной схемы.

1)    Если функция у = f(х) непрерывна на всей числовой прямой, то достаточно найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек. Именно так мы действовали в этом параграфе, когда строили графики следующих функций:

2)    Если функция у - f(х) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с отыскания области определения функции (если, конечно, она не задана) и с указания ее точек разрыва.

3)    Полезно исследовать функцию на четность, поскольку графики четной или нечетной функции обладают симметрией (соответственно относительно оси у или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при х>0, а затем достроить симметричную ветвь.

4)    Если , то, как известно (см. § 31), прямая у-Ь является горизонтальной асимптотой графика функции у - f(х). Асимптоту следует строить на координатной плоскости, она дает своеобразный ориентир для графика.

5)    Горизонтальная асимптота характеризуется условием: если

прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у = f (х).
Например, для функции ее график (гипербола) изображен на рис. 141 — вертикальной асимптотой является прямая х = 1. Если х -»1, то знаменатель данной дроби становится (по модулю)
все меньше и меньше, точнее: (х-1) —>0; соответственно сама дробь становится ( по модулю) все больше и больше, точнее:

Самый распространенный признак существования вертикальной асимптоты заключается в следующем:

если и при х = а знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то х = а —вертикальная асимптота графика функции у = f(x).
В следующих примерах учтем все вышеуказанные обстоятельства и построим графики функций, придерживаясь определенной схемы.
Пример 7. Построить график функции
Решение. 1. Найдем область определения функции: 
2.    Исследуем функцию на четность:
Значит, заданная функция нечетна, ее график симметричен относительно начала координат, а потому можно изначально ограничиться построением ветви графика при х>0.

3.    Найдем асимптоты. Вертикальной асимптоты нет. Для отыскания горизонтальной асимптоты надо вычислить lim f(х). Имеем:

Значит, у = 0 — горизонтальная асимптота графика функции. 4. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции. Имеем:

Производная всюду существует, значит, критических точек у функции нет. Стационарные точки найдем из соотношения у'=0. Получаем 1 - х² =0, откуда находим, что х = 1 или х = -1. Поскольку мы договорились рассматривать лишь случай, когда х>0, выберем значение х = 1. При х < 1 имеем у' > 0, а при х > 1 имеем у' < 0. Значит, х = 1 — точка максимума функции,
причем
На промежутке [0,1] функция возрастает, на промежутке[1, + ее) функция убывает.

5. Составим таблицу значений функции:

6. Отметив найденные точки на координатной плоскости, соединив их плавной кривои и учтя при этом, что горизонтальная асимптота, построим ветвь искомого графика при х>0 (рис. 142). Добавив ветвь, симметричную построенной относительно начала координат, получим весь график (рис. 143).

Пример 8. Построить график функции

Решение. 1. Найдем область определения функции. Она задается условиями: (при значениях х = 1, х = -1 знаменатель дроби обещается в нуль). Итак,

2.    Исследуем функцию на четность:

Значит, заданная функция четна, ее график симметричен относительно оси ординат, а потому можно для начала ограничиться построением ветвей графика при х > 0.

3.    Найдем асимптоты. Вертикальной асимптотой является прямая х = 1, поскольку при этом значении х знаменатель дроби обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Для отыскания горизонтальной асимптоты надо вычислить lim f(x). Имеем:

Значит, у = 1 — горизонтальная асимптота графика функции.
4. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции. Имеем:

Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет.
Стационарные точки найдем из соотношения у'= 0. Получаем -4х =0, откуда находим, что х = 0. При х <0 имеем у'> 0, а при х>0 имеем у'< 0. Значит, х= 0 — точка максимума функции, причем

При x >0 имеем у'< 0, но следует учесть наличие точки разрыва х = 1. Значит, вывод о промежутках монотонности будет выглядеть так: на промежутке [0, 1) функция убывает, на промежутке (1, функция также убывает.
5. Составим таблицу значений функции

6. Отметив найденные точки на координатной плоскости, соединив их плавными кривыми, учтя при этом, что (0; -1) — точка максимума, что у = 1 — горизонтальная асимптота, что х = 1 — вертикальная асимптота, построим ветви искомого графика при х>0 (рис. 144). Добавив ветви, симметричные построенным относительно оси ординат, получим весь график (рис. 145).

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.