Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика:Правильные многоугольники

Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности.

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Теорема 13.3. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Доказательство. Пусть А и В — две соседние вершины правильного многоугольника (рис. 280). Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин А и В. Пусть О — точка их пересечения. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ и углами при основании, равными       где —угол многоугольника.

Соединим точку О с вершиной С, соседней с В. Треугольники АВО и СВО равны по первому признаку равенства треугольников. У них сторона ОВ общая, стороны АВ и ВС равны как стороны многоугольника, а углы при вершине В равны   Из равенства треугольников следует, что треугольник ОВС равнобедренный с углом при вершине С, равным , т. е. СО есть биссектриса угла С.

Теперь соединяем точку О с вершиной D, соседней с С, и доказываем, что треугольник COD равнобедренный и DO — биссектриса угла D многоугольника. И т. д.

В итоге получается, что каждый треугольник, у которого одна сторона есть сторона многоугольника, а противолежащая вершина — точка О, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на их основания. Отсюда следует, что все вершины многоугольника находятся на окружности с центром О и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром О и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины О. Теорема доказана.

Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют один и тот же центр. Его называют центром многоугольника. Угол, под которым видна сторона правильного многоугольника из его центра, называется центральным углом многоугольника.

 

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Книги, учебники математике скачать, конспект на помощь учителю и ученикам, учиться онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.