Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Построение перпендикулярной прямой. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Построение перпендикулярной прямой.

Цели урока:

• Познакомить учащихся с определением перпендикулярных прямых и их свойствах;
• Формирование умений анализировать изученный материал и навыков применения его для решения задач;
• Показать значимость изучаемых понятий;
• Развитие познавательной активности и самостоятельности получения знаний;
• Воспитание интереса к предмету, чувства прекрасного.

Задачи урока:

• Формировать навыки в построении перпендикулярной прямой с помощью масштабной линейки, циркуля чертежного треугольника.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

• Проверка усвоения, изученного материала.
• Изучение нового материала.
• Построение перпендикулярной прямой.

Проверка усвоения, изученного материала.

Найдите ошибку:

• Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными прямыми.
• Сумма смежных сторон равна 180?.
• Если два угла равны, то совместные с ними углы равны.
• Если угол не развёрнутый, то его градусная мера больше 180?.
• Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
• Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого.
• Вертикальные углы различны.
• Если прямые пересекаются, значит, они перпендикулярны.
• Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной который имеет одним из своих концов их общую точку.
• Биссектрисой угла называется отрезок, который проходит из вершины треугольника, проходит межу его лучами и делит угол пополам.
  
  

Изучение нового материала.

Изучая геометрические фигуры, вы уже не раз встречались с перпендикулярными прямыми. Например, смежные стороны прямоугольника перпендикулярны. Как убедиться в том, что две линии (прямые) перпендикулярны? С древних пор строители проверяли перпендикулярность стены основанию дома с помощью отвеса, то есть грузика на веревке. Отсюда и произошло название перпендикуляра: латинское “перпендикулярис” означает “отвесной”. Чтобы построить перпендикуляр к прямой, достаточно построить прямой угол. Это вы умеете делать с помощью чертежного треугольника и с помощью транспортира.

Итак, давайте выясним, какие прямые называют перпендикулярными.

Файл:O.gif Определение.

Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными. (рис.2)

Файл:T.gif Теорема.

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Доказательство.

Пусть а — данная прямая и А — данная точка на ней. Обозначим через ах одну из полупрямых прямой а с начальной точкой А (рис. 3). Отложим от полупрямой а₁ угол  (a₁b₁), равный 90°.
Тогда прямая, содержащая луч b₁, будет перпендикулярна прямой а.

Как вы думаете, отрезки могут быть перпендикулярными?

Да. Вообще, можно назвать перпендикулярными любые две линии, лежащие на перпендикулярных прямых. Какие же еще геометрические фигуры могут быть перпендикулярными?
Варианты ответов: луч и отрезок, два луча, отрезок и прямая и т.д. Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных прямых, так же называют перпендикулярными отрезками (или лучами).
Про перпендикулярные линии часто говорят, что каждая из них – «перпендикуляр» к другой. В математике слово “перпендикулярные” обозначают знаком ┴. Если при пересечении двух прямых образуется один прямой угол, то и три остальных угла тоже будут прямыми.

Итак, перпендикулярными называются две прямые, при пересечении которых образуется четыре прямых угла.
Пришло время научиться стоить перпендикулярные прямые. И начнем мы с построение перпендикулярной прямой через точку, лежащую на данной прямой и не лежит на прямой.

Рассмотрим эти два случая с подробным описанием.

Построение перпендикулярной прямой.

Через точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a.

Возможно два варианта:

1. точка O лежит на прямой a;
2. точка О не лежит на прямой a.

Рассмотрим поочередно оба варианта.

Первый вариант.

Шаг 1. Проводим окружность с произвольным радиусом r с центром в точке O. Окружность пересекает прямую в точках A и B.

Шаг 2. Из точек A и B проводим окружности с радиусом AB. Пусть тоска С – точка пересечения этих окружностей.

Обращаю ваше внимание на то что точки А и В мы получили на первом шаге, при построении окружности с произвольным радиусом.

Шаг 3. Искомая прямая проходит через точки С и О.

Доказательство.

Проведем отрезки AC и CB. Δ ACO = Δ BCO по третьему признаку равенства треугольников (AO = OB, AC = CB, по построению, CO – общая). ∠ COA = ∠ COB = 90 °. Прямая CO ⊥ AB.

Как было уже сказано выше все четыре угла образованных при пересечении двух прямых перпендикулярны если хотя бы один из них перпендикулярен, т.е. является прямым и равен 90 градусов.

Второй вариант такой же простой только имеет немного другой принцип поиска наших начальных точек А и В.

Второй вариант.

Шаг 1. Из точки O проводим окружность некоторым радиусом r, таким чтобы окружность пересекала прямую a. Пусть A и B – точки пересечения окружности с прямой a.

Шаг 2. Проведем окружности тем же радиусом r с центрами в точках A и B. Пусть точка O₁ – точка пресечения этих окружностей, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка O.

Шаг 3. Проведем через точки O и O₁ прямую. Это и будет искомая прямая.

Доказательство.

Пусть прямые OO₁ и AB пересекаются в точке С. Δ AOB = Δ BO₁A по третьему признаку равенства треугольников (AO = OB = AO₁ = O₁B, по построению, AB – общая). Отсюда следует, что ∠ OAС = ∠ O₁AC. Δ OAC = Δ O₁AC по первому признаку равенства треугольников (AO = AO₁, по построению, ∠ OAС = ∠ O₁AC, AС – общая). Следовательно ∠ OСA = ∠ O₁CA, а так как эти углы смежные, то они прямые. Поэтому OC – перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую a.

Т. е. с помощью циркуля и линейки мы можем стоить перпендикулярные прямые, независимо от того точка через какую должен проходить перпендикуляр находиться на отрезке или за его пределами. Оба варианта имеют три шага, единственная сложность в том что бы правильно найти начальные точки А и В.

Интересный факт:

Теорема о двух милиционерах.

В математике есть много интересных возможно даже забавных или смешных теорем какие на первый взгляд не представляя собой ничего серьезного. Но на самом деле несут смысл в некоторых разделах или ответвлениях науки, так же могут быть выведенными специально для доказательства других теорем или просто быть случайно доказанными. Некоторые математические законы называют по аналогии с ситуациями в реальной жизни. В мировой математики есть очень интересная теорема с не менее интересным названием "Теорема о двух милиционерах".

Теорема о двух милиционерах это теорема в математическом анализе о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел.

Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера держат между собой преступника и при этом идут в камеру, то заключённый также вынужден туда идти. В разных странах эта теорема называется по разному. Теорема сжатия, теорема о двух карабинерах, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых.

Вопросы:

1. Сформулируйте определение окружности и круга?
   
2. Какая разница между диаметром и радиусом?
3. Какие прямые называются перпендикулярными?
4. Какой угол между перпендикулярными прямыми?
   
5. Чем пользуються для построения перпендикулярных прямых?

Список использованных источников:

1. Урок на тему "Наглядная геометрия" Автор: Самылина Марина Валентиновна., г. Киев
2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
3. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
4. Прямая в пространстве, справочник математических формул «Прикладная математика»
   
5. Прямая на плоскости, справочник математических формул «Прикладная математика»
6. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Над уроком работали:

Самылина М.В.

Потурнак С.А.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.