Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Понятие квадратного корня из неотрицательного числа

Понятие квадратного корня из неотрицательного числа

Рассмотрим уравнение х² = 4. Решим его графически. Для этого в одной системе координат построим параболу у = х² и прямую у = 4 (рис. 74). Они пересекаются в двух точках А (- 2; 4) и B(2; 4). Абсциссы точек А и В являются корнями уравнения х² = 4. Итак, х₁ = - 2, х₂ = 2.

Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х² = 9 (см. рис. 74): x₁ = - 3, х₂ = 3.

А теперь попробуем решить уравнение х² = 5; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 75. Ясно, что это уравнение имеет два корня х₁ и х₂, причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку (х₁ — - х₂)- Но в отличие от предыдущих случаев, где корни уравнения были найдены без труда (причем их можно было найти и не пользуясь графиками), с уравнением х² = 5 дело обстоит не так: по чертежу мы не можем указать значения корней, можем только установить, что один корень располагается чуть левее точки - 2, а второй — чуть правее точки 2.

Что же это за число (точка), которое располагается чуть правее точки 2 и которое в квадрате дает 5? Ясно, что это не 3, так как З² = 9, т. е. получается больше, чем нужно (9 > 5).

Значит, интересующее нас число расположено между числами 2 и 3. Но между числами 2 и 3 находится бесконечное множество рациональных чисел, например и т. д. Может быть, среди них найдется такая дробь , что ? Тогда никаких проблем с уравнением х² — 5 у нас не будет, мы сможем написать, что

Но тут нас ждет неприятный сюрприз. Оказывается, нет такой дроби , для которой выполняется равенство
Доказательство сформулированного утверждения довольно сложно. Тем не менее мы его приводим, поскольку оно красиво и поучительно, очень полезно попытаться его понять.

Предположим, что имеется такая несократимая дробь , для которой выполняется равенство . Тогда , т. е. m² = 5n². Последнее равенство означает, что натуральное число m² делится без остатка на 5 (в частном получится п2).

Следовательно, число m² оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0. Но тогда и натуральное число m оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0, т.е. число m делится на 5 без остатка. Иными словами, если число т разделить на 5, то в частном получится какое-то натуральное число k. Это значит, что m = 5k.

А теперь смотрите:

m² = 5n²;

Подставим 5k вместо m в первое равенство:

(5k)² = 5n², т. е. 25k² = 5n² или n² = 5k².

Последнее равенство означает, что число. 5n² делится на 5 без остатка. Рассуждая, как и выше, приходим к выводу о том, что и число n делится на 5 без остатка.

Итак, m делится на 5, n делится на 5, значит, дробь можно сократить (на 5). Но ведь мы предполагали, что дробь   несократимая. В чем же дело? Почему, правильно рассуждая, мы пришли к абсурду или, как чаще говорят математики, получили противоречие"! Да потому, что неверной была исходная посылка, будто бы существует такая несократимая дробь , для которой выполняется равенство
Отсюда делаем вывод: такой дроби нет.

Метод доказательства, который мы применили только что, называют в математике методом доказательства от противного. Суть его в следующем. Нам нужно доказать некоторое утверждение, а мы предполагаем, что оно не выполняется (математики говорят: «предположим противное» — не в смысле «неприятное», а в смысле «противоположное тому, что требуется").

Если в результате правельных рассуждений приходим к противоречию с условием, то делаем вывод: наше предположение неверно, значит, верно то, что требовалось доказать.

Итак, располагая только рациональными числами (а других чисел мы с вами пока не знаем), уравнение х² = 5 мы решить не сможем.

Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Они ввели в рассмотрение новый символ , который назвали квадратным корнем, и с помощью этого символа корни уравнения х² = 5 записали так: 

чиется: «корень квадратный из 5").  Теперь для любого  уравнения вида х² = а, где а > О, можно найти корни — ими являются числа , (рис. 76).

Еще раэ подчеркнем, что число не целое и не дробь.
Значит, не рациональное число, это число новой природы, о таких числах мы специально поговорим позднее, в главе 5.
Пока лишь отметим, что новое число находится между числами 2 и 3, поскольку 2² = 4, а это меньше, чем 5; З² = 9, а это больше, чем 5. Можно уточнить:

В самом деле, 2,2² = 4,84 < 5, а 2,3² = 5,29 > 5. Можно еще
уточнить:

действительно, 2,23² = 4,9729 < 5, а 2,24² = 5,0176 > 5.
На практике обычно полагают, что число равно 2,23 или оно равно 2,24, только это не обычное равенство, а приближенное равенство, для обозначения которого используют символ ».
Итак,
Обсуждая решение уравнения х² = а, мы столкнулись с довольно типичным для математики положением дел. Попадая в нестандартную, нештатную (как любят выражаться космонавты) ситуацию и не найдя выхода из нее с помощью известных средств, математики придумывают для впервые встретившейся им математической модели новый термин и новое обозначение (новый символ); иными словами, они вводят новое понятие, а затем изучают свойства этого понятия. Тем самым новое понятие и его обозначение становятся достоянием математического языка. Мы действовали так же: ввели термин «корень квадратный из числа а», ввели символ для его обозначения, а чуть позднее изучим свойства нового понятия. Пока мы знаем лишь одно: если а > 0,
то — положительное число, удовлетворяющее уравнению х² = а. Иными словами, — это такое положительное число, при возведении которого в квадрат получается число а.

Поскольку уравнение х² = 0 имеет корень х = 0, условились считать, что
Теперь мы готовы дать строгое определение.

Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Это число обозначают , число а при этом называют подкоренным числом.
Итак, если а — неотрицательное число, то:

Если а < О, то уравнение х² = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.

Таким образом, выражение имеет смысл лишь при а > 0.

Говорят, что — одна и та же  математическая модель (одна и та же  зависимость между неотрицательными числами ( а и b), но только вторая описана на более простом языке, чем первая (использует более простые символы).

Операцию нахождения квадратного корня из неотрицательного числа называют извлечением квадратного корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в квадрат. Сравните:

Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении квадратного корня. И хотя, например, (- 5)² = 25 — верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня (т.е. написать, что .)
нельзя. По определению, . — положительное число, значит, .
Часто говорят не «квадратный корень», а «арифметический квадратный корень». Термин «арифметический» мы опускаем для краткости.

г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа  . Ясно лишь, что оно больше, чем 4, но меньше, чем 5, поскольку4² = 16 (это меньше, чем 17), а 5² = 25 (это больше, чем 17).
Впрочем, приближенное значение числа можно найти с помощью микрокалькулятора, который содержит операцию извлечения квадратного корня; это значение равно 4,123.

Итак,

Число , как и рассмотренное выше число  » не является рациональным.
д) Вычислить нельзя, поскольку квадратный корень из отрицательного числа не существует; запись лишена смысла. Предложенное задание некорректно.
е) , так как 31 > 0 и 31² = 961. В подобных случаях приходится использовать таблицу квадратов натуральных чисел или микрокалькулятор.
ж) , поскольку 75 > 0 и 75² = 5625.

В простейших случаях значение квадратного корня вычисляется сразу:

и т. д. В более сложных случаях приходится использовать таблицу квадратов чисел или проводить вычисления с помощью микрокалькулятора. А как быть, если под рукой нет ни таблицы, ни калькулятора? Ответим на этот вопрос, решив следующий пример.

Пример 2. Вычислить
Решение.
Первый этап. Нетрудно догадаться, что в ответе получится 50 с «хвостиком». В самом деле, 50² = 2500, а 60² = 3600, число же 2809 находится между числами 2500 и 3600.

Второй этап. Найдем «хвостик», т.е. последнюю цифру искомого числа. Пока мы знаем, что если корень извлекается, то в ответе может получиться 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 или 59. Проверить надо только два числа: 53 и 57, поскольку только они при возведении в квадрат дадут в результате четырехзначное число, оканчивающееся цифрой 9, т. е. той же цифрой, которой оканчивается число 2809.
Имеем 532 = 2809 — это то, что нам нужно (нам повезло, мы сразу попали в «яблочко»). Значит, = 53.
Ответ:

= 53

Пример 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 1 см и 2 см. Чему равна гипотенуза треугольника ? (рис.77)

Решение.

Воспользуемся известной из геометрии теоремой Пифагора: сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника равна квадрату длины его гипотенузы, т. е. а² + b² = с², где а, b — катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника.

Значит,

Этот пример показывает, что введение квадратных корней — не прихоть математиков, а объективная необходимость: в реальной жизни встречаются ситуации, математические модели которых содержат операцию извлечения квадратного корня. Пожалуй, самая важная из таких ситуаций связана с решением квадратных уравнений. До сих пор, встречаясь с квадратными уравнениями ах² + bх + с = 0, мы либо раскладывали левую часть на множители (что получалось далеко не всегда), либо использовали графические методы (что тоже не очень надежно, хотя и красиво). На самом деле для отыскания корней х¹ и х² квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 в математике используются формулы

содержащие, как видно, знак квадратного корня.Эти формулы применяются на практике следующим образом. Пусть, например, надо решить уравнение 2х² + bх - 7 = 0. Здесь а = 2, b = 5, с = - 7. Следовательно,
b2 - 4ас = 5² - 4 • 2 • (- 7) = 81. Далее находим . Значит,

Выше мы отметили, что — не рациональное число.
Математики такие числа называют иррациональными. Иррациональным является любое число вида , если квадратный корень не извлекается. Например, и т.д. — иррациональные числа. В главе 5 мы более подробно поговорим о рациональных и иррациональных числах. Рациональные и иррациональные числа вместе составляют множество действительных чисел, т.е. множество всех тех чисел, которыми мы оперируем в реальной жизни (в действитель-
ности). Например, — все это действительные числа.
Подобно тому, как выше мы определили понятие квадратного корня, можно определить и понятие кубического корня: кубическим корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, куб которого равен а. Иными словами, равенство  означает, что b³ = а.

Все это мы будем изучать в курсе алгебры 11-го класса.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{Помощь школьнику онлайн, Математика для 8 класса скачать, календарно-тематическое планирование}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.