Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Определение числовой функции. Область определения, область значений функции
Определение числовой функции. Область определения, область значений функции
В то же время были случаи, когда мы вводили термин и начинали им пользоваться, но точного определения не формулировали, ограничиваясь приблизительным истолкованием термина. Так было, в частности, с термином «функция». Почему же мы в 7-м классе, как только стали использовать понятие функции, не сформулировали точное определение, почему не сделали этого и в 8-м классе? Дело в том, что история развития математики показывает: были понятия, которые человечество активно и длительное время использовало как рабочий инструмент, не задумываясь о том, как его определить. Лишь накопив необходимый опыт в работе с тем или иным понятием, математики начинали думать о его формальном определении. Разумеется, не всегда первые попытки определить то или иное понятие, вроде бы ясное на интуитивном уровне, оказывались удачными, их приходилось впоследствии дополнять, уточнять. Так было и с понятием функции. Проанализируем наш опыт работы с термином «функция». В 7-м классе мы ввели термин «линейная функция», понимая под этим уравнение с двумя переменными специального вида у = кх + m и рассматривая переменные хи у как неравноправные: х — независимая переменная, у — зависимая переменная. Затем задались вопросом: а не встречаются ли при описании реальных процессов математические модели подобного вида, но такие, у которых у выражается через х не по формуле у = кх + m, а по какой-либо иной формуле? Ответ на этот вопрос был получен сразу: встречаются. В 7-м классе, кроме упомянутой линейной функции, мы изучили математическую модель у = х2, в 8-м классе добавили к ним модели Математическая модель у = f(х) обычно дополняется указанием на то, из какого числового множества берутся значения независимой переменной х. Например, мы говорили о функции
1. Запись у = f(х) представляет собой правило (обычно говорят «правило f»), с помощью которого, зная конкретное значение независимой переменной х, можно найти соответствующее значение переменной у. 2. Указывается числовое множество X (чаще всего какой-то числовой промежуток), откуда берутся значения независимой переменной х. Теперь мы можем сформулировать одно из главных определений школьного курса алгебры (да, пожалуй, и всей математики).
Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества X определенное число у, то говорят, что задана функция у = f(х) с областью определения X; пишут у = f(x), х є X. При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у — зависимой переменной. Замечание. В реальной жизни мы часто говорим: «каковы мои функции» или «каковы мои функциональные обязанности», — спрашивая тем самым соответственно: «каков круг моих действий, моих обязанностей» или «что я должен делать, как действовать». Фактически в реальной жизни слово «функция» означает «действие» или «правила действий». Обратите внимание, что фактически тот же смысл имеет и математический термин «функция», который мы разъяснили выше в определении 1. Если f(х) — алгебраическое выражение и множество X совпадает с областью определения этого выражения, то действует соглашение: вместо записи у = f(x), х є X, используется более короткая запись: у = f(х), хотя, подчеркнем, такая запись не совсем соответствует определению 1. Но математики стараются быть экономными во всем: и в употреблении слов в формулировках, и в записях математических утверждений. Для области определения функции у = f(х), х є X, иногда удобно использовать обозначение D(f). Например:
Пример 1. Найти область определения функции: а) Так как область определения функции явно не указана, подразумевается, что она совпадает с областью определения выражения
Обратите внимание, что точки 2 и 4 отмечены закрашенными кружочками; их следует включить в ответ, поскольку заданное неравенство — нестрогое. Итак,
Множество всех значений функции у = f(x), х є X, называют областью значений функции и обозначают Е(f). Если известен график функции, то область значений функции найти сравнительно нетрудно. Для этого достаточно спроецировать график на ось ординат. То числовое множество, геометрическая модель которого получится на оси ординат в результате указанного проецирования, и будет представлять собой Е(f)- Например: Завершая этот параграф, рассмотрим пример, который в определенном смысле является итогом сказанного. Пример 2. Дана функция у = f(x), где
а) Область определения функции состоит из трех промежутков: (-оо, 0], (0, 2] и (2, 4]. Объединяя их, получаем луч (-оо, 4]. Итак, D(f) = (-оо, 4]. б) Значение х = - 2 удовлетворяет условию в) Область значений функции, как мы уже отметили выше, удобнее всего находить с помощью графика функции. Построение графика осуществим «по кусочкам». Сначала построим параболу у = -х2 и выделим ее часть на луче (-оо, 0] (рис. 46). Затем построим прямую у = х + 1 и выделим ее часть на полуинтервале (0, 2] (рис. 47). Далее построим прямую у — 3 и выделим ее часть на полуинтервале (2, 4] (рис. 48). Наконец, все три «кусочка» изобразим в одной системе координат — это и будет график функции у = f (х) (рис. 49).
А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс
Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать Содержание урока
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум. |
Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки
© Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний - Владимир Спиваковский
При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов -
гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.
Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: