Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 11 класс>>Математика:Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда

Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, с. Для этого сначала докажем, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты.

 
Пусть Р и Р₁ — два прямоугольных параллелепипеда с общим основанием ABCD и высотами АЕ и АЕ₁. Будем считать для определенности, что АЕ₁<АЕ (рис. 475). Пусть V и V₁— объемы параллелепипедов. Разобьем ребро АЕ параллелепипеда Р на большое число n равных частей. Каждая из них АЕ равна
Пусть m— число точек деления, которые лежат на ребре АЕ₁. Тогда

Проведем через точки деления плоскости, параллельные основанию. Они разобьют параллелепипед Р на n равных параллелепипедов.

Каждый из них имеет объем . Параллелепипед P₁ содержит первые m параллелепипедов, считая снизу, и содержится в m + 1 параллелепипедах. Поэтому

Из неравенств (*) и (**) мы видим, что оба числа и заключены между . Поэтому они отличаются не более чем на . А так как п можно взять сколь угодно большим, то это может быть только при   что  и требовалось доказать.

Возьмем теперь куб, являющийся единицей измерения объема, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: а, 1, 1; а, b, 1; a, b, с. Обозначим их объемы V₁, V₂ и V соответственно. По доказанному 

Перемножая эти три равенства почленно, получим:

V=abc.

Итак, объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами а, b, с вычисляется по формуле V=аЬс.

Задача (3). Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см². Чему равно ребро куба?

Решение. Обозначим ребро куба через х, тогда (x + 2)³ — х³ = 98, т. е.x² + 2x —15 = 0. Уравнение имеет два корня: х=3, х = — 5. Геометрический смысл имеет только положительный корень. Итак, ребро куба равно 3 см.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Видео по математике скачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.