Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Ломаная

Ломаная

Ломаной А₁А₂А3 ... A_n называется фигура, которая состоит из точек А₁, А₂, А_n и соединяющих их отрезков A₁,А₂, А₂,А₃, А_n-1,А_n. Точки А₁, А₂, А_n называются вершинами ломаной, а отрезки A₁,А₂, А₂,А₃, А_n-1,А_n — звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений.

На рисунке 273, а показана простая ломаная, а на рисунке 273, б — ломаная с самопересечением (в точке В). Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Теорема 13.1. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Доказательство. Пусть А₁А₂А₃ ... A_n— данная ломаная (рис. 274).

Заменим звенья А₁А₂ и А₂А₃ одним звеном А₁А₃. Получим ломаную А₁А₃А₄ ... A_n. Так как по неравенству треугольника А₁А₃<А₁А₂ + А₂А₃, то ломаная A₁A₃A₄ ... A_n имеет длину, не большую, чем исходная ломаная.

Заменяя таким же образом звенья А₁А₃ и А₃А₄ звеном А₁А₄, переходим к ломаной А₁А₄А₅ ... А_n, которая также имеет длину, не большую, чем исходная ломаная. И т. д. В итоге мы придем к отрезку A₁A_n соединяющему концы ломаной. Отсюда следует, что исходная ломаная имела длину, не меньшую длины отрезка A₁A_n. Теорема доказана.

Задача (1). Даны две окружности с радиусами R₁ и R₂ и расстоянием между центрами d>R₁+R₂. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками X и Y этих окружностей?

Решение. Для ломаной 0₁ХУ0₂ по теореме 13.1 O₁O₂O₁X + XY + YO₂ (рис. 275). Значит, dR₁+XY +R₂. Отсюда XYR₁—R₂. Так как AC = d — R₁—R₂, то наименьшее расстояние между точками окружностей равно d — R₁—R₂.

Для ломаной ХО₁О₂У по той же теореме ХУ R₁ +d +R₂. Так как BD = d+R₁ +R₂, то наибольшее расстояние между точками окружностей равно d+R₁ +R₂,. 

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Помощь школьнику онлайн, Математика для 9 класса скачать, календарно-тематическое планирование}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.