Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Косинус угла. Полные уроки

Тема урока

• Косинус угла.

Цели урока

• Сформировать знания о косинусе острого угла прямоугольного треугольника, умения применять эти знания при решении задач.
• Овладевать навыками нахождения косинуса острого угла.
• Развивать умение логически мыслить.
• Внимание при нахождении элементов прямоугольного треугольника.
• Память при использовании часто употребляемых соотношений в прямоугольном треугольнике.
• Воспитывать культуру математической речи; аккуратность построения геометрических чертежей; бережное отношение к учебнику.
  

Задачи урока

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
2. Объяснение нового материала и осмысление его учащимися.
3. Решение упражнений на закрепление изученного материала.
4. Подведение итогов.

Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Угловая мера

Угол измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L, в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2 радианам = 360° = 400 градам.

В системе СИ принято использовать радианы.

В морской терминологии углы обозначаются румбами.

Углы на тригонометрической окружности

В математике в качестве начала отсчёта углов принято направление оси абсцисс (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления направо), и отсчитывается против часовой стрелки.

В географии в качестве начала отсчёта углов принято направление оси ординат (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления север (вперёд)), и отсчитывается по часовой стрелке.

Объяснение нового материала и осмысление его учащимися

Определения

Тригонометрия - это такое сложное греческое слово: тригонон - треугольник, метро - мерять. Стало быть по-гречески это означает: меряться треугольниками. Очень странное слово. Может быть древнегреки под треугольниками подразумевали кое-что другое? Не знаю.

Тригонометрические функции — вид элементарных функций, изучаемых в тригонометрии. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна. В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса, косеканса

Определение тригонометрических функций для острых углов

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α.

Тогда:

• Синусом называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)
• Косинусом называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)
• Тангенсом называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
• Котангенсом называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
• Секансом называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету)Косекансом α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники

Единичный круг. Отсчет углов в единичном круге

Чтобы построить всю тригонометрию, законы которой были бы справедливы для любых углов ( не только для острых, но и для тупых, положительных и отрицательных углов ), необходимо рассмотреть так называемый единичный круг, то есть круг, радиус которого равен 1.

 

рис. 1

Проведём два диаметра: горизонтальный AA’ и вертикальный BB’. Будем отсчитывать углы от точки A ( начальная точка ). Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке, положительные – против. Подвижный радиус OC образует угол  α  с неподвижным радиусом OA. Он может быть расположен в 1-ой четверти ( COA ), во 2-ой четверти ( DOA ), в 3-ей четверти ( EOA ) или в 4-ой четверти ( FOA ). Считая OA и OB положительными направлениями, а OA’ и OB’ – отрицательными, мы определим тригонометрические функции следующим образом.

рис. 2

Линия синуса угла  α (рис. 2)  - это вертикальный диаметр единичного круга,  линия косинуса угла  α  - горизонтальный диаметр единичного круга. Синус угла  α  (рис. 2) – это отрезок OB на линии синуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию синуса; косинус угла  α  - отрезок OA линии косинуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию косинуса. Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.

     рис. 3                                     рис. 4                                      рис. 5

Линия тангенса ( рис.3 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку A  горизонтального диаметра.

Линия котангенса ( рис.4 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку В  вертикального диаметра.

Тангенс – это отрезок линии тангенса между точкой касания A и точкой пересечения ( D, E, и т.д., рис.3 ) линии тангенса и линии радиуса.

Котангенс – это отрезок линии котангенса между точкой касания В и точкой пересечения ( Р, Q, и т.д., рис.4 ) линии котангенса и линии радиуса.

Знаки тангенса и котангенса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.5.

Секанс и косеканс определяются как величины, обратные соответственно косинусу и синусу.

Решение упражнений на закрепление изученного материала

Задача №1

Ответ: ВК=7.5

Задача №2

Ответ: sin O=3/5; cos M=3/5.

Интересный факт

Тригонометрия возникла как аппарат для вычисления неизвестных параметров треугольника по заданным значениям других его параметров.

Так, методами тригонометрии по данным сторонам треуголь­ника можно вычислить его углы, по известной площади и двум углам вычислить стороны и т.д.

Необходимость отыскивать неизвестные параметры данного треугольника впервые возникла в астрономии, и в течение долгого времени тригонометрия была одним из разделов астрономии.

Первые методы нахождения неизвестных параметров данного треугольника были развиты учеными Древней Греции за несколько веков до новой эры.

Греческие астрономы не рассматривали синусов, косину­сов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они составили и исполь­зовали таблицы, позволяющие отыскивать хорду окружности по стягиваемой ею дуге.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в средние века в работах индийских и арабских ученых.

Современные буквен­ные обозначения появились в тригонометрии в середине XVIII века. Приблизительно в то же время в тригонометрии стали рассматриваться радианные меры углов, были введены тригонометрические и обратные тригонометрические функции числового аргумента, после чего тригоно­метрия приобрела свой современный вид.

Вопросы

1. Как относятся синус и косинус?
2. Чему равен радиан?
3. Зачем нужна тригонометрия?

Список использованных источников

1. Дмитрий Владимирович, учитель математики и информатики
2. Галина Владимировна, учитель математики
3. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
4. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
5. А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, Москва «Наука».

Над уроком работали

Потурнак С.А.

Дмитрий Владимирович

Галина Владимировна

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.