Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Квадрат. Полные уроки

Тема урока

• Квадрат

Цели урока

• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
  
• Сформулировать и доказать свойства квадрата, доказать его свойства.
  
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Вступительное слово.
   
2. Повторение ранее изученного материала.
3. Квадрат, его свойства и признаки.
4. Логические задачи.

Вступительное слово

Царь Соломон.

В математике есть очень интересная задача какая связана с печатью царя Соломона. И так начнем с самого начала и вспомним кто такой царь Соломон.

Соломон — третий еврейский царь, легендарный правитель объединённого Израильского царства в 965-928 до н. э., в период его наивысшего расцвета. Сын царя Давида и Вирсавии (Бат-Шевы), его соправитель в 967-965 до н. э. Считается автором «Книги Екклесиаста», книги «Песнь песней Соломона», «Книги Притчей Соломоновых», а также некоторых псалмов. Во время правления Соломона в Иерусалиме был построен Иерусалимский Храм — главная святыня иудаизма.

Скорее всего все слышали рассказ о мудрости Соломона и как он смог рассудить двух женщин но все же вспомнить еще раз, может кто то еще не слышал.

Мудрость свою Соломон показывал прежде всего на суде. Вскоре по воцарении его пришли к нему на суд две женщины. Они жили в одном доме, и у каждой было по младенцу. Ночью одна из них своего младенца задавила и подложила его к другой женщине, а живого у той взяла себе. Утром женщины стали спорить: "живой ребенок мой, а мертвый твой", говорила каждая. Так спорили они и пред царем. Выслушав их, Соломон приказал: "принесите меч".

И принесли меч к царю. Соломон сказал: "Рассеките живого ребенка пополам и отдайте половину одной и половину другой".

Одна из женщин при этих словах воскликнула: "отдайте лучше ей младенца, но не убивайте его!"

Другая же напротив говорила: "рубите, пусть не достанется ни ей ни мне".

Тогда Соломон сказал: "не убивайте ребенка, а отдайте его первой женщине: она его мать".

А теперь перейдем к самой задаче,  печати царя Соломона.

Сколько равносторонних треугольников изображено на знаменитой печати царя Соломона, изображенной на его гробнице.

Ответ не так очевиден как кажется с самого начала, что бы подсчитать все треугольники нужно потратить немного времени.

Ответ: На печати Царя Соломона можно обнаружить 31 равносторонний треугольник.

Обратите внимание что на печати именно  равносторонние треугольники, предлагаю повторить основные понятия касающиеся равносторонних треугольников.

Повторение

Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Также на рисунку приведены основные обозначения вершин, сторон и углов треугольника.

Правильный треугольник или равносторонний треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, а все углы равны 60° (или π / 3).

В силу определения правильный треугольник также является равнобедренным.

Свойства равностороннего треугольника:

1. Все углы равны (каждый угол равен 60^∘);
2. Каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой;
3. Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в него.

Кроме того, равносторонний треугольник, как частный вид правильного многоугольника, имеет все свойства правильного многоугольника.

Квадрат

Определение. Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны. Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

Свойства

1. У квадрата (как прямоугольника) все углы прямые
   
2. Диагонали квадрата (как прямоугольника) равны
   
3. Диагонали квадрата (как прямоугольника) точкой пересечения делятся пополам.
   
4. Диагонали квадрата (как ромба) пересекаются под прямым углом.
   
5. Диагонали квадрата (как ромба) являются биссектрисами его углов.
   

Теоремы

 Теорема. Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то этот прямоугольник квадрат.

Доказательство.

Прямоугольник является параллелограммом, а параллелограмм, у которого диагонали пересекаются под прямым углом это ромб. То у ромба все стороны равны. Значит мы имеем прямоугольник у которого все стороны равны, а по определению это и есть квадрат. Теорема доказана.

AB=BC=CD=DA
∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90°
AC ⊥ BD
AC = BD

Теорема. (4 свойство квадрата) Если один из углов ромба прямой, этот ромб - квадрат.

Диагональ квадрата больше его стороны в корень из двух раз:

Теорема. Площадь квадрата равна квадрату стороны или половине квадрата его диагонали.

Центр вписанной и описанной окружностей лежит на пересечении диагоналей квадрата, т.к. точка пересечения одинаково удалена как от сторон, так и отвершин.
Радиус описанной окружности равен половине диагонали (диаметр=диагонали). Радис вписанной окружности - половине стороны квадрата (диаметр=стороне). Эти утверждения не требуют особо сложного доказательства.

Логические задачи

Задача №1

Заданы 12 отрезков по 2 см каждый, 12 отрезков по 3 см и 11 отрезков по 5 см. Можно ли из всех заданных отрезков построить прямоугольник с целочисленными сторонами, измеряемыми в см?

Ответ: 12х2 =24 см
12х3 = 36 см
11х5 = 55 см
24+36+55 = 115 см - периметр мнимого прямоугольника.
Так как число нечётное, прямоугольник невозможен.

Задача №2

Откуда взялся лишний квадрат?

Ответ:

Квадрат взялся по причине обмана зрения. Нам кажется, что фигуры одного цвета в обоих случаях имеют одинаковую площадь. Так нас заставляет думать кажущаяся одинаковой длина катетов у соответствующих цветных треугольников. На самом деле длина катетов у них разная, но незначительно. Мы этого не видим, поскольку контуры фигур обозначены весьма жирными линиями. Это как в черчении, маленькие расхождения в построении устраняются посредством толщины линий.На самом деле у верхнего синего тр-ка катет пересекает гипотенузу большого тр-ка не точно в углу клетки, а чуть выше, но за счет толщины линии мы этого не видим. Зато если построить на бумаге с увеличенным хотя бы в 2 раза масштабе, то видно это расхождение. А как мы знаем, толстая линия тоже занимает определенную площадь. Вот и взялся этот маленький квадратик за счет грамотно расчерченных контуров фигур. Все просто.

Задача №3

Как получить равносторонний треугольник из квадрата.

Ответ.

Сложите квадрат пополам. Разверните.

Сложите левый нижний угол таким образом, чтобы левый верхний угол оказался на намеченной линии. Разверните.

Повтори действие с правой стороной. Разверните.

Намеченный треугольник можно вырезать. Все его стороны равны.

Интересный факт

Древнеиндийский магический квадрат.

Этот квадрат появился в I в нашей эры. Сумма чисел в каждом ряду 34. Кроме основного свойства, можно заметить и другие свойства: сумма угловых чисел (1, 4, 16, 13) тоже равна 34; в каждом столбце имеется два рядом стоящих числа, сумма которых 13 или 21 и т.д. 

В далёком прошлом отсталые, суеверные люди считали все эти необычные свойства таинственными. Отсюда произошло название «магические», «волшебные» квадраты.

 Через посредничество арабов магические квадраты проникли из Индии в Европу. Так как они представляют известный интерес в науке о числе, ими занимались видные учёные. Среди которых был и знаменитый французский математик XVII в. Пьер Ферма.

Вопросы

1. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам?
   
2. Диагонали квадрата равны?
3. Противолежащие углы квадрата равны?

Список использованных источников

1. Кузнецов А. В., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
3. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Над уроком работали

Кузнецов А. В.

Потурнак С.А.

Татьяна Проснякова

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.