Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Касательная к окружности. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Касательная к окружности.

Цели урока

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Касательная к окружности”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
• Ввести понятие касательной, точки касания.
• Рассмотреть свойство касательной и её признак и показать их применение при решении задач в природе и технике.
  
  

Задачи урока

• Формировать навыки в построении касательных с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
• Проверить умение учащихся решать задачи.
• Обеспечить овладение основными алгоритмическими приёмами построения касательной к окружности.
• Сформировать умения применять теоретические знания к решению задач.
• Развивать мышление и речь учащихся.
• Работать над формированием умений наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии.
• Привитие интереса к математике.
  

План урока

1. Появление понятия касательной.
   
2. История появления касательной.
   
3. Геометрические определения.
   
4. Основные теоремы.
   
5. Построение касательной к окружности.
   
6. Закрепление.
   

Появление понятия касательной

Понятие касательной – одно из древнейших в математике. В геометрии касательную к окружности определяют как прямую, имеющую ровно одну точку пересечения с этой окружностью. Древние с помощью циркуля и линейки умели проводить касательные к окружности, а в последствии – к коническим сечениям: эллипсам, гиперболам и параболам.

История появления касательной

Интерес к касательным возродился в Новое время. Тогда были открыты кривые, которых не знали учёные древности. Например, Галилей ввёл циклоиду, а Декарт и Ферма построили к ней касательную. В первой трети XVII в. Начали понимать, что касательная – прямая, «наиболее тесно примыкающая» к кривой в малой окрестности заданной точки. Легко представить себе такую ситуацию, когда нельзя построить касательную к кривой в данной точке (рисунок).

Геометрические определения

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой её центром.

окружность.

Связанные определения

• Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой (а также длина этого отрезка), называется радиусом окружности.
• Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
• Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
• Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
• Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
• Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей.
• Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре.
• Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.
• Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
  

Касательная прямая — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Прямая, проходящая через точку окружности в той же плоскости перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания.

Где в нашем случаи "а" это прямая какая является касательной к данной окружности, точка "А" является точкой касания. При этом а⊥ОА (прямая а перпендикулярна радиусу ОА).

Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей. Через точку касания можно провести касательную к одной из окружностей, которая является одновременно и касательной к другой окружности. Касание окружностей бывает внутренним и внешним.

Касание называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от касательной.

Касание называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от касательной

а – общая касательная к двум окружностям, К – точка касания.

Основные теоремы

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC² = MA•MB.

Теорема. Радиус, проведенный в точку касания окружности, перпендикулярен касательной.

Теорема. Если радиус перпендикулярен прямой в точке пересечения ею окружности, то эта прямая - касательная к этой окружности.

Доказательство.

Для доказательства этих теорем нам нужно вспомнить, что такое перпендикуляр из точки на прямую. Это кратчайшее растояние от этой точки до этой прямой. Допустим, что ОА не перпендикулярен касательной, а есть прямая ОС перпендикулярная касательной. Длина ОС заключает в себе длину радиуса и еще некий отрезок ВС, что безусловно больше радиуса. Таким образом, можно доказывать для любой прямой. Заключаем, что радиус, радиус проведенный в точку касания, есть кратчайшее растояние до касательной из точки О, т.е. ОС перпендикулярен касательной. В доказательстве обратной теоремы будем исходить из того, что касательная имеет с окружностью только одну общую точку. Пусть данная прямая имеет еще одну общую точку В с окружностью. Треугольник АОВ прямоугольный и в нем две стороны равны как радиусы, чего быть не может. Таким образом получаем, что данная прямая не имеет больше общих точек с окружность кроме точки А, т.е. является касательной.

Теорема. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, а прямая, соединяющая эту точку с центром окружности, делит угол между касательными попалам.

Доказательство.

Доказательство очень простое. Используя предыдущую теорему, утверждаем, что ОВ перпендикулярен АВ, а ОС - АС. Прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по катету и гипотенузе (ОВ=ОС - радиусы, АО - общая). Поэтому равны и их катеты АВ=АС и углы ОАС и ОАВ.

Теорема. Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

Доказательство.

Рассмотрим угол NАВ, образованный касательной и хордой. Проведем диаметр АС. Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точку касания, следовательно, ∠CAN=90^о. Зная теорему, видим, что угол альфа (a) равен половинеполовине угловой величины дуги ВС или половине угла ВОС. ∠NAB=90^о-a, отсюда получаем ∠NAB=1/2(180^о-∠BOC)=1/2∠АОВ или = половине угловой величины дуги ВА. ч.т.д.

Теорема. Если из точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

Доказательство.

На рисунке эта теорема выглядит так: МА²=МВ*МС. Докажем это. По предыдущей теореме угол МАС равен половине угловой величины дуги АС, но также и угол АВС равен половине угловой величины дуги АС по теореме, следовательно, эти углы равны между собой. Принимая во внимание то, что у треугольников АМС и ВМА угол при вершине М общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам (второй признак). Из подобия имеем: МА/MB=MC/MA, откуда получаем МА²=МВ*МС

Построение касательных к окружности

А теперь давайте попробуем разобраться и узнать, что нужно сделать, чтобы построить касательную к окружности.

В этом случае, как правило, в задаче дается окружность и точка. А нам с вами необходимо построить касательную к окружности так, чтобы эта касательная проходила через заданную точку.

В том случае, если нам неизвестно месторасположение точки, то давайте рассмотрим случаи возможного расположения точек.

• Во-первых, точка может находиться внутри круга, который ограничен данной окружностью. В этом случае касательную через эту окружность построить нет возможности.

• Во втором случае, точка находится на окружности, и мы можем строить касательную, проведя перпендикулярную прямую к радиусу, которой проведен к известной нам точке.

• В-третьих, припустим, точка находится за приделами круга, который ограничен окружностью. В этом случае перед тем, как построить касательную, необходимо найти точку на окружности, через которую должна пройти касательная.

С первым случаем, я надеюсь вам все понятно, а вот для решения второго варианта нам необходимо на прямой, на которой лежит радиус, построить отрезок. Этот отрезок должен быть равен радиусу и отрезку, который лежит на окружности, на противоположной стороне.

Здесь мы с вами видим, что точка на окружности является серединой отрезка, который равен удвоенному радиусу. Следующим этапом будет построение двух окружностей. Радиусы этих окружностей будут равняться удвоенному радиусу первоначальной окружности, с центрами в концах отрезка, который равен удвоенному радиусу. Теперь мы можем через любую точку пересечения этих окружностей и заданную точку провести прямую. Такая прямая является срединным перпендикуляром к радиусу окружности, которая была начерчена вначале. Таким образом, мы с вами видим, что эта прямая перпендикулярна окружности и из этого следует, что она является касательной к окружности.

В третьем варианте у нас есть точка, лежащая за приделами круга, который ограничен окружностью. В этом случае мы вначале строим отрезок, который соединит центр предоставленной окружности и заданную точку. А дальше мы находим его середину. Но для этого необходимо построить серединный перпендикуляр. А как его построить вам уже известно. Потом нам нужно начертить окружность или хотя бы ее часть. Теперь мы видим, что точка пересечения заданной окружности и вновь построенной и есть та точка, через которую проходит касательная. Также она проходит и через точку, которая была задана по условию задачи. И наконец, уже через известные вам две точки вы можете провести касательную прямую.

Ну и наконец, чтобы доказать, то, что построенная нами прямая является касательной, нужно обратить внимание на угол, который был образован радиусом окружности и отрезком, известным по условию и соединяющим точку пересечения окружностей с точкой, данной по условию задачи. Теперь мы видим, что образовавшийся угол опирается на полуокружность. А из этого следует, что этот угол прямой. Следовательно, радиус будет перпендикулярен вновь построенной прямой, а эта прямая и есть касательная.

Интересный факт

Построение касательной.

Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к рождению дифференциального исчисления. Первый опубликованный труд, относящийся к дифференциальному исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления».

Геометрические познания древних египтян.

Если не учитывать весьма скромный вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте до 1700 до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянами стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство.

Об уровне геометрических познаний можно судить из древних рукописей, которые специально посвящены математике и являются чем-то вроде учебников, или, вернее, задачников, где даны решения разных практических задач.

Древнейшая математическая рукопись египтян переписана неким учеником между 1800 – 1600 г.г. до н.э. с более древнего текста. Папирус разыскал русский египтолог Владимир Семенович Голенищев. Он хранится в Москве - в Музее изобразительных искусств имени А.С. Пушкина, и называется Московским папирусом.

Другой математический папирус, написанный лет на двести-триста позднее Московского, хранится в Лондоне. Он называется: „Наставление, как достигнуть знания всех тёмных вещей, всех тайн, которые скрывают в себе вещи… По старым памятникам писец Ахмес написал это". Рукопись так и называют „папирусом Ахмеса", или папирусом Райнда — по имени англичанина, который разыскал и купил этот папирус в Египте. В папирусе Ахмеса даётся решение 84 задач на различные вычисления, которые могут понадобиться на практике.

Вопросы

1. Сформулируйте определение окружности?
2. Что такое хорда и качательная?
   
3. Какая разница между диаметром и радиусом?
4. В чем разница между внутренним и внешним касанием?