Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Исследование функций на монотонность

Исследование функций на монотонность

С понятиями возрастающей и убывающей функций мы впервые познакомились в курсе алгебры 7-го класса. Глядя на график функции, мы снимали соответствующую информацию: если двигаясь по графику слева направо мы в то же время движемся снизу вверх (как бы поднимаемся в горку), то мы объявляли функцию возрастающей (рис. 124); если же мы движемся сверху вниз (спускаемся с горки), то мы объявляли функцию убывающей (рис. 125).

Однако математики не очень жалуют такой способ исследования свойств функции. Они считают, что определения понятий не должны опираться на рисунок, — чертеж должен лишь иллюстрировать то или иное свойство функции на ее графике. Дадим строгие определения понятий возрастания и убывания функции.

Определение 1.Функцию у = f(x) называют возрастающей на промежутке X, если из неравенства х₁ < х₂- где хг и х2 — любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x₁) < f(x₂).

Определение 2. Функцию у = f(x) называют убывающей на промежутке X, если из неравенства х₁ < х₂, где х₁ и х₂ — любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x₁) > f(x₂).

На практике удобнее пользоваться следующими формулировками:

функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Используя эти определения и установленные в § 33 свойства числовых неравенств, мы сможем обосновать выводы о возрастании или убывании ранее изученных функций.

1. Линейная функция у = kx +m

Если k > 0, то функция возрастает на всей числовой прямой (рис. 126); если k < 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Доказательство. Положим f(х) = kx +m. Если х₁ < х₂ и k > О, то, согласно свойству 3 числовых неравенств (см. § 33), kx₁ < kx₂. Далее, согласно свойству 2, из kx₁ < kx₂  следует, что kx₁ + m < kx₂ + m, т. е. f(х₁) < f(х₂).

Итак, из неравенства х₁ < х₂ следует, что f(х₁) < f(x₂). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. линейной функции у = kx+ m.

Если же х₁ < х₂ и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx₁ > kx₂, а согласно свойству 2, из kx₁ > kx₂ следует, что kx₁ + m> kx₂ + т.

Итак, из неравенства х₁ < х₂ следует, что f(х₁) > f(х₂). Это и означает убывание функции у = f(x), т. е. линейной функции у = kx + m.

Если функция возрастает (убывает) во всей своей области определения, то ее можно называть возрастающей (убывающей), не указывая промежутка. Например, про функцию у = 2х - 3 можно сказать, что она возрастает на всей числовой прямой, но можно сказать и короче: у = 2х - 3 — возрастающая
функция.

2. Функция у = х2

1. Рассмотрим функцию у = х² на луче [0, + ₀₀). Пусть 0 х₁ < х₂. Тогда, согласно свойству 6 числовых неравенств, , т. е.f(x₁) < f(x₂)- Итак, из х₁ < х₂ следует f(x₁) < f(x₂). Таким образом, функция у = х² возрастает на луче [0, + ₀₀) (рис. 128).

2. Рассмотрим функцию у = х² на луче (- со, 0]. Возьмем два неположительных числа х₁ и х₂, таких, что х₁ < х₂. Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х₁ > - х₂. Так как числа - х₁ и - х₂ неотрицательны, то, возведя в квадрат обе части последнего неравенства, получим неравенство того же смысла (-х₁)² > (-х₂)², т.е. Это значит, что f(х₁) >f(х₂).

Итак, из неравенства х₁ < х₂ следует, что f(х₁) > f(х₂).

Поэтому функция у = х² убывает на луче (- ₀₀, 0] (рис. 128).
3. Функция у
1. Рассмотрим функцию на промежутке (0, + ₀₀).
Пусть х1 < х₂. Так как х₁ и х₂ — положительные числа, то из х₁< x₂  следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x₁) > f(x₂).

Итак, из неравенства х₁ < х₂ следует, что f(x₁) > f(x₂). Это значит, что функция убывает на открытом луче (0, + ₀₀) (рис. 129).

2. Рассмотрим функцию на промежутке (-оо, 0). Пусть х₁ < х₂, х₁ и х₂ — отрицательные числа. Тогда - х₁ > - х₂, причем  обе части последнего неравенства — положительные числа, а потому (мы снова воспользовались неравенством, доказанным в примере 1 из § 33). Далее имеем , откуда получаем .

Итак, из неравенства х₁ < х₂ следует, что f(x₁) >f(x₂)  т.е. функция убывает на открытом луче (-₀₀, 0)

Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание и убывание называют исследованием функции на монотонность.

Пример. Построить и прочитать график функции y = f{x), где

Решение.

1) Построим график функции у = 2х² и возьмем ветвь этой параболы при х < 0 (рис. 130).

2) Построим график функции и выделим его часть на отрезке [0, 4] (рис. 131).

3) Построим гиперболу и выделим ее часть на открытом луче (4, + ₀₀) (рис. 132).
4) Все три «кусочка» изобразим в одной системе координат — это и есть график функции у = f(x) (рис. 133).

Прочитаем график функции у = f(x).

1. Область определения функции — вся числовая прямая.

2. у = 0 при х = 0; у > 0 при х > 0.

3. Функция убывает на луче (-оо, 0], возрастает на отрезке [0, 4], убывает на луче [4, + оо).

4. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

5. у_наим. = 0 (достигается при х = 0); Y_наиб- не существует.

6. Функция непрерывна.

7. Область значений функции — луч [0, + оо).

8. Функция выпукла вниз на луче (-оо, 0], выпукла вверх на отрезке [0, 4], выпукла вниз на луче [4, + оо).

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{Рефераты, домашняя работа по математике скачать, учебники скатать бесплатно, онлайн уроки, вопросы и ответы}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.