Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Иррациональные числа

Иррациональные числа

Определение иррационального числа

Иррациональными называют такие числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Так, например, числа, полученные путем извлечения квадратного корня из натуральных чисел, являются иррациональными и не являются квадратами натуральных чисел. Но не все иррациональные числа получают путем извлечения квадратных корней, ведь полученное методом деления, число «пи», также является иррациональным, и его вы вряд ли получите, пытаясь извлечь квадратный корень из натурального числа.

Свойства иррациональных чисел

• В отличие от чисел, записанных бесконечной десятичной дробью, только иррациональные числа записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
• Сумма двух неотрицательных иррациональных чисел в итоге может быть рациональным числом.
• Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
• Любое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
• Все иррациональные числа являются либо алгебраическими, либо трансцендентными.
• Множество иррациональных чисел на прямой располагаются плотно, и между его любыми двумя числами обязательно найдется иррациональное число.
• Множество иррациональных чисел бесконечно, несчетно и является множеством 2-й категории.
• При выполнении любой арифметической операции с рациональными числами, кроме деления на 0, его результатом будет рациональное число.
• При сложении рационального числа с иррациональным, в результате всегда получается иррациональное число.
• При сложении иррациональных чисел в результате мы можем получить рациональное число.
• Множество иррациональных чисел не есть четным.

Числа, не являются иррациональными

Иногда достаточно сложно ответить на вопрос, является ли число иррациональным, особенно в случаях, когда число имеет вид десятичной дроби или в виде числового выражения, корня или логарифма.

Поэтому не лишним будет знать, какие числа не относятся к иррациональным. Если следовать определения иррациональных чисел, то нам уже известно, что рациональные числа не могут быть иррациональными.

Иррациональными числами не являются:

• Во-первых, все натуральные числа;
• Во-вторых, целые числа;
• В-третьих, обыкновенные дроби;
• В-четвертых, разные смешанные числа;
• В-пятых, это бесконечные периодические десятичные дроби.

Кроме всего перечисленного, иррациональным числом не может быть любая комбинация рациональных чисел, которая выполняется знаками арифметических операций, как +, -, •, :, так как при этом итогом двух рациональных чисел будет также рациональное число.

А теперь посмотрим, какие же из чисел являются иррациональными:

Интересные факты

А известно ли вам о существовании фан-клуба, где поклонники этого загадочного математического феномена ищут все новые сведения о Пи, пытаясь разгадать его тайну. Членом этого клуба может сталь любой человек, который знает наизусть определенное количество чисел Пи после запятой;

А знаете ли вы, что в Германии под охраной ЮНЕСКО находится дворец Кастадель Монте, благодаря пропорциям которого можно вычислить Пи. Целый дворец посвятил этому числу король Фридрих II.

Оказывается, число Пи пытались использовать при строительстве Вавилонской башни. Но к превеликому сожалению, это привело к краху проекта, так как на тот момент было недостаточно изучено точное исчисление значения Пи.

Певица Кейт Буш в своем новом диске записала песню под названием «Пи», в которой прозвучало сто двадцать четыре числа из знаменитого числового ряда 3, 141…..