Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла. Полные уроки

Тема урока

• Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла.
  

Цели урока

• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
• Познакомится с закономерностью изменений значений синуса косинуса и тангенса при возрастании угла.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить знания учащихся.

План урока

1. Повторение ранее изученного материала.
2. Задачи на повторение.
3. Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла.
4. Практическое применение.

Повторение ранее изученного материала

Начнем с самого начала и вспомним то что будет полезно освежить в памяти. Что же такое синус, косинус и тангенс и к какому разделу геометрии относятся эти понятия.

Тригонометрия - это такое сложное греческое слово: тригонон - треугольник, метро - мерять. Стало быть по-гречески это означает: мерятся треугольниками.

Тригонометрические функции — вид элементарных функций, изучаемых в тригонометрии. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна. В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Основное применение тригонометрические функции получили в треугольниках, так как треугольник является простейшим многоугольником. Со всех геометрических фигур можно получить треугольник проведя не сложные построения этот процесс называется триангуляция. Вкратце говоря для того что бы решить сложную задачу ее легче разбить на несколько легких.

Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Если все три точки треугольника лежат на одной прямой, он называется вырожденным.

Треугольники можно классифицировать по виду углов и по числу равных сторон.

Типы треугольников:

По виду углов:

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

• Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
• Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
• Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
  

По числу равных сторон:

• Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны.
• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
• Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Также если мы уже заговорили про треугольники нужно вспомнить египетский треугольник.

Египетский треугольник – прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Сумма указанных чисел (3+4+5=12) с древних времен использовалась как единица кратности при построении прямых углов с помощью веревки, размеченной узлами на 3/12 и 7/12 ее длины. Применялся египетский треугольник в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности.

Задачи на повторение

Задача №1

Высота треугольника меньше 1. Может ли его площадь быть больше 10000 квадратных единиц?

Ответ: Может. Таким будет, например, равнобедренный треугольник, основание которого равно 80000, а высота к основанию равна 0.5.

Задача №2

На рисунке изображено 2 треугольника. Верхний треугольник состоит 4-х фигур. Нижний треугольник (такой же площади) состоит из тех же фигур такой же площади. Вопрос — откуда взялся свободный квадратик?

Ответ: Если присмотреться то будет видно что гипотенуза обеих треугольников немного (почти незаметно) деформирована.  В первом она вогнута к основанию, а во втором наоборот. За счет этого и появляется свободный квадрат.

Задача №3

Водителям приходится объезжать этот участок по запасному пути, отмеченному на плане пунктиром.

На сколько километров увеличивает путь этот объезд?

Ответ:  6 км.

Для тех кто невнимательно прочитал условие задача покажется глупой и ответ не правильным, но самый подвох лежит как раз там. В условие сказано что НА сколько увечится путь, т.е. сколько лишних участков дороги водителям прийдеться проехать.

Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла

Синус (sin)

Синус - тригонометрическая величина означающая половину хорды двойной дуги или угла а также перпендикуляр, опущенный из конца дуги на радиус.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению катета, лежащего напротив этого угла (противолежащего катета), к гипотенузе.

Как видно с графика, максимальное свое значение синус принимает в точке π/2.

Расмотирим подробней. И так в точке 0 синус равен 0. На промежутке от 0 до 90 градусов синус принимает значения от 0 до 1 и в точке (π/2) достигает своего максимального значения. После чего тенденция прироста меняется и от 90 до 180 градусов синус начинает спадать и в точке πравняется обратно 0. На отрезке 180-270 синус продолжает уменьшатся и в точке 3π/2 принимает минимальное значение -1. И заканчивает свой цикл на промежутке 270-360 (3π/2-2π) принимает значения от -1 до 0.

Эта закономерность продолжается до бесконечности. Сколько не продолжать график колебания будут оставаться такими же и не ожиданых отклонений не будет.

Значения синусов для часто встречающихся углов:

• sin (0°) = 0
• sin (30°) = sin (π/6) = 1/2
• sin (45°) = sin (π/4) = (√2)/2 = 1/√2
• sin (60°) = sin (π/3) = (√3)/2
• sin (90°) = sin (π/2) = 1
• sin (180°) = sin (π) = 0
• sin (270°) = sin (3π/2) = –1
• sin (360°) = sin (3π/2) = 0
  

Косинус (cos)

Косинус -  синус дополнительного угла, функция угла, выражаемая отношением прилегающего к углу катета к гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению катета, выходящего из этого угла (прилежащего катета), к гипотенузе.

Косинус это дополнительная функции синуса. И имеет тот же  характер что и синус только есть некоторые нюансы и отличия. Как видно с графиков синуса и косинуса они отличается ровна на 90 градусов (π/2).Как Вы уже и сами заметили синус начинается с 0, а косинус с 1.Что ведет за собой зависимость - на промежутку от 0 до 90 градусов косинус уменьшается и в точке π/2 принимает значения равное 0. После чего он уменьшается дальше и на промежутку от π/2 до πпринимает значения от 0 до -1. И только по достижению угла равного 180 градусов косинус достигает своего минимального значения и равняется -1. На промежутку 180-270 градусов косинус принимает значения от -1 до 0. И вот 270-360 градусов косинус стремится от 0 до единицы. Таким образом функция косинуса проходит свой полный цикл и повторяет его заново. Такая последовательность продолжается до бесконечности.

Значения косинусов для часто встречающихся углов:

• сos (0°) = 1
• сos (30°) = cos (π/6) = (√3)/2
• сos (45°) = cos (π/4) = (√2)/2 = 1/√2
• сos (60°) = cos (π/3) = 1/2
• сos (90°) = cos (π/2) = 0
• cos (180°) = cos (π) = –1
• сos (270°) = cos (3π/2) = 0
• сos (360°) = cos (3π/2) = 1
  

Тангенс (tg)

Тангенс — одна из тригонометрических функций, обозначется tg (в англоязычной традиции — tan).

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Значение тангенса легко найти, зная синус и косинус угла:

tg(α) = sin(α)/cos(α).

С тангенсом уже немого сложнее потому что его значение зависит уже от двух функций. Как видно выше, тангенс равен соотношению синуса и косинуса. В некоторых точках тангенс не определен, это обусловлено тем что косинус в точках π/2 и 3π/2 равен нулю в следствии чего получается деление на ноль. Теперь про сами изменения на промежутках. Первый это от 0 до 90 градусов, в точке 0 тангенс равен 0, а в точке π/2 не определен но знак + в некоторых книгах говорят что в этой точке значение равно +∞ что тоже является верным. Второй промежуток 90-180 (π/2-π) можно сказать что здесь функция возвращается обратно в ноль и принимает значения от +∞ до 0. Третий промежуток: 180-270 значение от 0 до -∞. И последний участок это 270-360 градусов, где значение функции изменяется от -∞ до 0.

Значения тангенсов для часто встречающихся углов:

• tg (0°) = 0
• tg (30°) = tg (π/6) = (√3)/3 = 1/√3
• tg (45°) = tg (π/4) = 1
• tg (60°) = tg (π/3) = √3
• tg (90°) = tg (π/2) = +∞ (значение не определено, вблизи 90° тангенс стремится к бесконечности)
• tg (180°) = tg (π) = 0
• tg (270°) = tg (3π/2) = –∞ (значение не определено, вблизи 90° тангенс стремится к бесконечности)
• tg (360°) = tg (2π) = 0

Практическое применение

На практике синус, косинус применяются в многих расчетах какие люди просто не замечают или просто не сталкиваются с ними. Самый простой пример это задача по физике, про дальность полета брошеного предмета под углом.

Рассмотрим эту задачу:

Хорошо известно, что максимальная дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, достигается при угле вылета равном 45° и определяется формулой:

В основном область применений тригонометрических функций это расчеты какие нельзя получить экспериментально или какие нужно подтвердить теоретически.

Интересный факт

• Бытует мнение, что Альфред Нобель не включил математику в список дисциплин своей премии из-за того, что его жена изменила ему с математиком. На самом деле Нобель никогда не был женат. Настоящая причина игнорирования математики Нобелем неизвестна, но есть несколько предположений. Например, на тот момент уже существовала премия по математике от шведского короля. Другое — математики не делают важных изобретений для человечества, так как эта наука имеет чисто теоретический характер.

Альфред Нобель (1833–1896)

• У числа Пи есть два неофициальных праздника. Первый — 14 марта, потому что этот день в Америке записывается как 3.14. Второй — 22 июля, которое в европейском формате записывается 22/7, а значение такой дроби является достаточно популярным приближённым значением числа Пи.

Число Пи

• В группе из 23 и более человек скорее всего (т.е. вероятность превышает 50%) найдутся двое, отмечающих день рождения в один и тот же день.

• В штате Индиана в 1897 году был выпущен билль, законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора университета.
• В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Вопросы

1. Чем отличается синус и косинус?
   
2. Соотношением каких функций является тангенс?
3. Зачем нужна тригонометрия?

Список использованных источников

1. Урок на тему "Наглядная геометрия" Автор: Самылина Марина Валентиновна., г. Киев
2. Геометрия: Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений Автор: Дудницын Юрий Павлович
3. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 7 класс (2005)
4. Геометрия. 7 класс. Комплексная зачетная тетрадь. Стадник Л.Г.

Над уроком работали

Потурнак С.А.

Самылина Марина Валентиновна

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.