Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Задачи-2(10 класс)

Задачи

1. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещиваются.

2.    Можно ли через точку С, не принадлежащую скрещивающимся прямым а и b, провести две различные прямые, каждая из которых пересекает прямые а и b? Объясните ответ.

3.    Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.

4.    Прямые а и b пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой b и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости.

 

5. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А₁ В₁ и M₁. Найдите длину отрезка ММ₁, если отрезок АВ не пересекает плоскость (рис. 340) и если:

1) АА₁=5 м, ВВ₁ = 7 м; 2) АА₁=3,6 дм, ВВ₁ =4,8 дм;
3) АА₁=8,3 см, ВВ₁=4,1 см; 4) АА₁=а, ВВ₁ = b.

6*. Решите задачу 5, если АВ пересекает плоскость.

7. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В₁ и С₁. Найдите длину отрезка ВВ₁, если:

1) CC₁ = 15 см, АС:ВС = 2:3;
2) CC₁ = 8,1 см, АВ:АС = 11:9;

3) АВ=6 см, АС:CC₁= 2:5;

4) АС = а, ВС = b, CC₁=с.

8*. Даны параллелограмм ABCD и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках А1, В₁, С₁, D₁, (рис. 341). Найдите длину отрезка DD₁, если:

1) АА₁=2 м, BB₁ = 3 м, CC₁=8 м;

2) AA₁ = 4 м, BBB₁ = 3 м, CC₁ = l м;

3) AA₁= а, BB₁ = b, CC₁=с.

9. Прямые а и b не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и b?

10.    Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.

11.    Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).

12*. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины от  резков АВ и CD, АС и BD, AD и ВС, пересекаются в одной точке.

13.    Дан треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке A₁, а сторону ВС — в точке В₁. Найдите длину отрезка А₁ В₁, если:

1) АВ = 15 см, АА₁:АС = 2:3;

2) АВ = 8см,  АА₁:А₁С = 5:3;

3) B₁C = 10 см, АВ:ВС = 4:5;

4) АА₁=а,  АВ=b, А₁С = с.

14.    Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух данных  пересекающихся плоскостей.

15. Докажите,  что плоскость, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.

16.    Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.

17.    Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость а по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости ее (рис. 342).

18. Докажите, что прямая,пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую.

19.    Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.

20.    Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых (рис. 343). Всегда ли это возможно?

21*. Докажите, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым (рис. 344).

22. Даны четыре точки А, В,С и D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым АВ и CD, пересекает прямые АС, AD, BD и ВС в  вершинах параллелограмма (рис. 345).
 

 

 
23. Плоскости и параллельны плоскости . Могут ли плоскости и пересекаться?

24.    Плoскости и пересекаются. Докажите, что любая плоскость пересекает хотя бы одну из плоскостей , .

25.    Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.

26.    Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно?

27. Параллелограммы ABCD и ABC₁D₁ лежат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник CDD₁C₁ тоже параллелограмм (рис. 346).

28. Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в одной

из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А₁, В₁, С₁, D₁. Докажите, что четырехугольник А₁В₁С₁D₁ тоже параллелограмм.

29.    Через вершины треугольника ABC, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А₁В₁С₁. Докажите равенство треугольников ABC и А₁В₁С₁.

30.    Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А,, В\, С\. Докажите подобие треугольников ABC и А₁В₁С₁ (рис. 347).

31.    Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную и не проходящую через точку А, тоже в вершинах параллелограмма (рис. 348).

32. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А₁ и В₁. Чему равен отрезок А₁В₁, если АВ = а?

33*. Даны две параллельные плоскости ₁ и ₂ и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольная прямая. Пусть Х₁ и Х₂— точки пересечения ее с плоскостями ₁ и ₂. Докажите, что отношение длин отрезков АХ₁ :АХ₂ не зависит от взятой прямой.

34*. Точка А лежит вне плоскости , X — произвольная точка плоскости X' — точка отрезка АХ, делящая его в отношении m:n. Докажите, что геометрическое место точек X' есть плоскость, параллельная плоскости .

35*. Даны три параллельные плоскости ₁, ₂, ₃. Пусть Х₁, Х₂, Х₃ — точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков Х₁, Х₂:Х₂, Х₃ не зависит от прямой, т. е. одинаково для любых двух прямых.

36. Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что если какая-нибудь плоскость пересекает эти прямые в вершинах параллелограмма, то любая плоскость, не параллельная данным прямым, пересекает их в вершинах некоторого параллелограмма.

37. Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции его медиан?

38.    Дана параллельная проекция треугольника. Чем изобразится проекция средней линии треугольника?

39.    Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться трапеция? Объясните ответ.

40.    Может ли проекция параллелограмма при параллельном проектировании быть квадратом?

41.    Докажите, что параллельная проекция центрально-симметричной фигуры также является центрально-симметричной фигурой.

42*. Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра (рис. 349). Как построить проекцию перпендикулярного диаметра?


 

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.