Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Доказательство от противного. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Доказательство от противного.

Цели урока:

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Доказательство от противного”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

• Формировать навыки в доказательствах теорем, в том числе и доказательством от противного.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Обозначения, краткий обзор буквенных переменных для исключения ошибок разного типа.
   
2. Раскрытие главное темы урока, определения высоты, медианы, биссектрисы.
   
3. Пошаговое построение, инструкции для корректного выполнения построения.
   
4. Задание для самостоятельной проверки.

Геометрия (греческое, от ge —земля и metrein — измерять)— наука о пространстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела.

Из истории.

Еще 4 тыс лет тому назад одной из важнейших задач древних египтян было измерение земельных участков, границы которых приходилось восстанавливать после каждого разлива Нила.

Около 2,5 тыс лет назад греки заимствовали у египтян и вавилонян их математические знания, применяя первоначально только для практических нужд. Отсюда произошло греческое название «геометрия», что означает «землемерие». Математика греков достигла расцвета к 3 веку до н.э. к этому времени была доведена до совершенства система логического построения геометрии, которая уже сильно отличалась от традиционного землемерия. Складывается отвлеченная форма геометрических понятий, в результате чего свойства предметов изучаются независимо применения; формируется устойчивый язык геометрии.

Евклид александрийский (3 в. до н. э.) – знаменитый геометр древности – дал систематическое изложение основ в своем классическом трактате «начала», где изложены также основы теоретической арифметики. Сочинение это состоит из 13 книг, книги 14 и 15 были присоединены позднее. Книги 1-4 и 6 посвящены планиметрии – раздел геометрии, изучающий геометрические свойства фигур на плоскости. Книги 5, 6-10 содержат арифметику древних. Книги 11-13 посвящены стереометрии – разделу геометрии, изучающему геометрические свойства фигур в пространстве.

Евклид

В III в. до н. э. прикладные задачи стояли уже перед эллинскими учеными во весь рост. Заслуга Архимеда заключалась в том, что он установил теоретические основы, на которых в конечном счете и по сей день покоится машиностроение, — он фактически создал основы механики. Механика требовала вычисления масс, а следовательно, площадей и объемов, а также Центров тяжести; механика настоятельно требовала метрической геометрии.

Архимед

Геометрию сегодня можно разделить на следующие разделы:

• Элементарная геометрия
  
• Аналитическая геометрия
  
• Дифференциальная геометрия и топология
  
• Топология

Элементарная геометрия.

Включает в себя стереометрию и планиметрию.

Стереометрия (от греч. «стереос» — телесный, «метрео» — измеряю) — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

Планиметрия— раздел геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры.

Аналитическая геометрия.

Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры.

В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела.

Дифференциальная геометрия и топология.

Дифференциальная геометрия и топология — два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы. Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности.

Различие между этими науками состоит в наличии или отсутствии локальных инвариантов. В дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях, что у любой пары точек можно найти идентичные окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии присутствуют локальные инварианты, которые делают точки локально отличимыми.

Топологи.

Топология (от греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел геометрии, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях например связность ориентируемость. В отличии от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (к примеру расстояние между парой точек).

Математическое доказательство.

В математике доказательством называется цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при желании можно восстановить формальное доказательство. Доказанные утверждения в математике называют теоремами (в математических текстах обычно подразумевается, что доказательство кем-либо найдено; исключения из этого обычая в основном составляют работы по логике, в которых исследуется само понятие доказательства); если ни утверждение, ни его отрицание ещё не доказаны, то такое утверждение называют гипотезой. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются доказательства менее сложных утверждений, называемых леммами.

Формальными доказательствами занимается специальная ветвь математики — теория доказательств. Сами формальные доказательства математики почти никогда не используют, поскольку для человеческого восприятия они очень сложны и часто занимают очень много места. Обычно доказательство имеет вид текста, в котором автор, опираясь на аксиомы и доказанные ранее теоремы, с помощью логических средств показывает истинность некоторого утверждения. В отличие от других наук, в математике недопустимы эмпирические доказательства: все утверждения доказываются исключительно логическими способами. В математике важную роль играют математическая интуиция и аналогии между разными объектами и теоремами; тем не менее, все эти средства используются учёными только при поиске доказательств, сами доказательства не могут основываться на таких средствах. Доказательства, написанные на естественных языках, могут быть не очень подробными в расчёте на то, что подготовленный читатель сам сможет восстановить детали. Строгость доказательства гарантируется тем, что его можно представить в виде записи на формальном языке (это и происходит при компьютерной проверке доказательств).

Доказательство.

Доказательство— рассуждение, устанавливающее истин­ность какого-либо утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже доказана. В доказательстве различаются тезис - ут­верждение, которое нужно доказать, и основание, или ар­гументы, — те утверждения, с помощью которых доказывается тезис. Например, тезис «Платина проводит электрический ток» мож­но доказать с помощью следующих истинных утверждений: «Пла­тина — металл» и «Все металлы проводят электрический ток». Понятие доказательство— одно из центральных в логике и математике, но оно не имеет однозначного определения, применимого во всех случаях и в любых научных теориях. Логика не претендует на полное раскрытие интуитивного, или «наивного», понятия доказательства. Доказательство образует довольно расплывчатую сово­купность, которую невозможно охватить одним универсальным определением. В логике принято говорить не о доказуемости вооб­ще, а о доказуемости в рамках данной конкретной системы или теории.

Доказательство от противного.

Доказательство от противного (лат. reductio ad absurdum), вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения - антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается установлением факта его несовместимости с каким-либо заведомо истинным суждением. Этой форме Д. от п. соответствует следующая схема доказательства: если В истинно и из А следует ложность В, то А - ложно. Другая, более общая форма Д. от п. - это доказательство путём опровержения (обоснования ложности) антитезиса по правилу: допустив А, мы вывели противоречие, следовательно - не-А. Здесь А может быть как утвердительным, так и отрицательным суждением, а вывод противоречия может пониматься либо как вывод утверждения о тождестве заведомо различных предметов, либо как вывод пары суждений В, не-В, либо как вывод конъюнкции этой пары, либо как вывод эквивалентности этой пары. Этим различным случаям соответствуют различные интерпретации понятий Д. от п. и «противоречие». Приём Д. от п. особенно важен в математике: многие отрицательные суждения математики не могут быть доказаны другим путём, кроме приведения к противоречию. Помимо указанных выше, существует иная - «парадоксальная» - форма Д. от п., применявшаяся уже в «Началах» Евклида: суждение А можно считать доказанным, если удастся показать, что А следует даже из допущения ложности А.

Математическое доказательство: вчера, сегодня, завтра

Доказательство от противного – мощный и часто используемый в математике метод. Предположив, что некоторый факт (объект) является истинным (существует), и придя к противоречию, мы заключаем, что факт ложен (объект не существует).

Косвенное доказательство.
Косвенное доказательство- доказательство, в котором истинность тезиса устанавливается путем показа ошибочности противоположного ему допущения. При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис. В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем. Прямые аргументы для выведения из них доказываемого положения не отыскиваются. Вме­сто этого формулируется антитезис, отрицание этого положе­ния, и тем или иным способом показывается его несостоятельность. Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положе­ния, оно называется также доказательством от противно­го

• выдвигается антитезис и из него выводятся следствия с намерением найти сре­ди них ложное;
• устанавливается, что в числе следствий действи­тельно есть ложное;
• делается вывод, что антитезис неверен;
• из лож­ности антитезиса делается заключение, что тезис является истинным.

В зависимости от того, как устанавливается ложность антите­зиса, можно выделить несколько вариантов косвенного доказательства. Иногда ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытека­ющих из него следствий с фактами, эмпирическими данными. Так, в приведенном примере рассуждение идет по схеме: если неверно первое, то второе; но второе неверно, значит, верно первое. Нередко анализ самой логической структуры следствий антите­зиса позволяет сделать вывод, что он ошибочен. Так, если в чис­ле следствий встретились и утверждение, и отрицание одного и того же, можно сразу заключить, что антитезис неверен.

Ложным будет он и в том случае, если из него выводится внутренне проти­воречивое высказывание о тождестве утверждения и отрицания. Например, для доказательства тезиса «Квадрат — это ромб с пря­мыми углами» выдвигается антитезис: «Неверно, что квадрат есть ромб с прямыми углами». Из последнего выводится как то, что у квадрата все углы прямые (т. к. быть квадратом значит иметь четы­ре прямых угла), так и то, что у квадрата углы не являются пря­мыми. Раз из антитезиса вытекает и утверждение, и отрицание одного и того же, значит, он неверен, а правильным является противоположное утверждение - тезис.

Апагогия — логический приём, которым доказывается несостоятельность какого-нибудь мнения таким образом, что или в нём самом, или же в необходимо из него вытекающих следствиях мы открываем противоречие.

Поэтому апогогическое доказательство является доказательством косвенным: здесь доказывающий обращается сперва к противоположному положению, чтобы показать его несостоятельность, и затем по закону исключения третьего делает вывод о справедливости того, что требовалось доказать. Этот род доказательства называется также приведением к нелепости. Существенною его принадлежностью является довод, что третье не существует, т. е., что кроме мнения, справедливость которого нужно доказать, и второго, ему противоположного, которое служит исходным пунктом доказательства, никакой третий факт не допускается. Поэтому косвенное доказательство исходит из факта, отрицающее положение, справедливость которого требуется доказать.

Интересный факт:

Математики разработали конфигурацию идеальной верёвки.
Согласно математикам, свойства материала, который используется для изготовления верёвки, не принимаются в расчет при построении схемы идеальной верёвки. Основным является геометрические свойства структуры.

Для того, чтобы построить модель идеальной верёвки и рассчитать её показатели, математики ввели такое понятие, как конфигурация с нулевым кручением. Этот параметр обозначает максимальное число оборотов, которое приходится на отрезок верёвки определенной длины, сплетенный из фиксированного числа нитей.

При соблюдении конфигурации с нулевым кручением, как следует из названия, вертикально подвешенный на такой верёвке груз не будет вращаться вокруг своей оси. Кроме того, отсутствует растяжение под действием силы тяжести.

Как выяснили математики, даже толщина нитей не играет роли при определении идеальной конфигурации. Основным показателем в данном случае является угол наклона относительно оси, перпендикулярной к вертикальной составляющей верёвки. В зависимости от числа нитей, этот угол колеблется от 42,8 градуса (верёвка из трёх нитей) до 43,8 градуса (верёвка из четырёх нитей). Если же количество нитей стремится к бесконечности, то угол неизменно приближается к 45 градусам.

Вопросы:

1. Что такое доказательство?
   
2. В чем особенность доказательства от противного?
3. Что такое тезис?
   

Список использованных источников:

1. Урок на тему "Теоремы" Автор: Марина Александровна, г. Киев
2. Федеральный общеобразовательный стандарт. Вестник образования. №12,2004.
3. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы. Составитель: С.А. Бурмистрова. Москва. «Просвещение», 2009 год.
4. А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. «ИЛЕКСА». Москва. 2004.
5. Академик Ю. Л. Ершов «Доказательность в математике», программа А. Гордона от 16 июня 2003 г.
   

Над уроком работали:

Потурнак С. А.

Марина Александровна

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.