Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Графическое решение квадратных уравнений

Графическое решение квадратных уравнений

С квадратными уравнениями вы уже встречались в курсе алгебры 7-го класса. Напомним, что квадратным уравнением называют уравнение вида ах² + bх + с = 0, где а, b, с — любые числа (коэффициенты), причем а . Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, мы в состоянии уже теперь, не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения» (это будет позднее, в главе 4), решать некоторые квадратные уравнения, причем различными способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

Пример. Решить уравнение х² - 2х - 3 = 0.
Решение.
I способ. Построим график функции у = х² - 2х - 3, воспользовавшись алгоритмом из § 13:

1) Имеем: а = 1, b = -2, х₀ = = 1, у₀ = f(1)= 1² - 2 - 3= -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы — прямая х = 1.

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = -1 и х = 3.

Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).

3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).

Корнями уравнения х² - 2х - 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: х₁ = - 1, х₂ — 3.

II способ. Преобразуем уравнение к виду х² = 2х + 3. Построим в одной системе координат графики функций у — х² и у = 2х + 3 (рис. 69). Они пересекаются в двух точках А(- 1; 1) и В(3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит, х₁ = - 1, х₂ — 3.

III способ. Преобразуем уравнение к виду х² - 3 = 2х. Построим в одной системе координат графики функций у = х² - 3 и у = 2х (рис. 70). Они пересекаются в двух точках А(-1; - 2) и В (3; 6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому х₁ = - 1, х₂ = 3.

IV способ. Преобразуем уравнение к виду х²-2х 4-1-4 = 0
и далее
х² - 2х + 1 = 4, т. е. (х - IJ = 4.
Построим в одной системе координат параболу у = (х - 1)² и прямую y = 4 (рис. 71). Они пересекаются в двух точках А(-1; 4) и В(3; 4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, поэтому х₁ = -1, х₂ = 3.

V способ. Разделив почленно обе части уравнения на х, получим

Построим в одной системе координат гиперболу и прямую у = х - 2 (рис. 72).

Они пересекаются в двух точках А (-1; -3) и В(3; 1). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, следовательно, х₁ = - 1, х₂ = 3. 

Итак, квадратное уравнение х² - 2х - 3 = 0 мы решили графически пятью способами. Давайте проанализируем, в чем суть этих способов.

I способ. Строят график функции у точки его пересечения с осью х.

II способ. Преобразуют уравнение к виду ах² = -bх - с, строят параболу у = ах² и прямую у = -bх - с, находят точки их пересечения (корнями уравнения служат абсциссы точек пересечения, если, разумеется, таковые имеются).

III способ. Преобразуют уравнение к виду ах² + с = - bх,строят параболу у — ах² + с и прямую у = -bх (она проходит через начало координат); находят точки их пересечения.

IV способ. Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду

а (х + l)² + m = О
и далее
а (х + I) = - m

Строят параболу у = а (х + I)² и прямую у = - m, параллельную оси х; находят точки пересечения параболы и прямой.

V способ. Преобразуют уравнение к виду

Строят гиперболу (это — гипербола при условии, что ) и прямую у = — ах — b; находят точки их пересечения.

Заметим, что первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида ах² + bх + с = 0, а пятый — только к тем, у которых с . На практике можно выбирать тот способ, который вам кажется наиболее приспособленным к данному уравнению или который вам больше нравится (или более понятен).

Замечание. Несмотря на обилие способов графического решения квадратных уравнений, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы сможем решить графически, нет. Пусть, например, нужно решить уравнение х² - х - 3 = 0 (специально возьмем уравнение, похожее на то, что было в рассмотренном примере). Попробуем его решить, например, вторым способом: преобразуем уравнение к виду х² = х + 3, построим параболу у = х² и
прямую у = х + 3, они пересекаются в точках А и В (рис. 73), значит, уравнение имеет два корня. Но чему равны эти корни, мы с помощью чертежа сказать не можем — точки А и В имеют не такие «хорошие» координаты, как в приведенном выше примере. А теперь рассмотрим уравнение х²- 16х— 95 = 0. Попробуем его решить, скажем, третьим способом. Преобразуем уравнение к виду х² — 95 = 16х. Здесь надо построить параболу у = х² - 95 и прямую у = 16х. Но ограниченные размеры листа тетради не позволяют этого сделать, ведь параболу у = х² надо опустить на 95 клеток вниз.

Итак, графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения. Учтем это в далнейшем.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{Математика скачать, задача школьнику 8 класса, материалы по математике для 8 класса онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.