Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Угол. Полные уроки

Угол

Плоский угол — неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).

Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости, заключёнными между этими лучами (Вообще говоря, двум таким лучам соответствуют два угла, так как они делят плоскость на две части. Один из этих углов условно называют внутренним, а другой — внешним.
Иногда, для краткости, углом называют угловую меру.

Для обозначения угла имеется общепринятый символ: , предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

Угол – это геометрическая фигура  ( рис.1 ), образованная двумя лучами OA и OB ( стороны угла ), исходящими из одной точки O ( вершина угла ).

Файл:23102010 1.gif

Угол обозначается символом   и тремя буквами, обозначающими концы лучей и вершину угла: AOB ( причём, буква вершины – средняя ). Углы измеряются величиной поворота луча ОА вокруг вершины O до тех пор, пока  луч OA не переходит в положение OB. Широко применяются две единицы измерения углов: радиан и градус. О радианном измерении углов см. ниже в пункте «Длина дуги», а также в главе «Тригонометрия».

Градусная система измерения углов.

Здесь единицей измерения является градус ( его обозначение ° ) – это поворот луча на 1 / 360  полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360!. Один градус делится на  60 минут ( обозначение ‘ ); одна минута – соответственно на 60 секунд  ( обозначение “ ). Угол в 90° ( рис.2 ) называется прямым; угол, меньший, чем  90° ( рис.3 ), называется острым; угол, больший, чем 90° ( рис.4 ), называется тупым.

Файл:23102010 2.gif

Прямые линии, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными. Если прямые АВ и МK перпендикулярны, то это обозначается: AB  MK.

Знаки углов. Угол считается положительным, если вращение выполняется против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае. Например, если луч OA смещается к лучу OB так, как показано на рис.2, то AOB = + 90°   ; но на рис.5  AOB = – 90°.

Файл:23102010 3.gif 

Смежные углы ( рис.6 ) – это углы AOB и COB, имеющие общую вершину O и общую сторону OB; две другие стороны OA и OC являются продолжениями одна другой. Таким образом, сумма смежных углов равна 180°.

 Вертикальные углы ( рис.7 ) – это два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого:  AOB и  COD ( а также AOC и DOB )  - вертикальные углы.

Файл:23102010 4.gif

Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам ( рис.8 ). Биссектрисы вертикальных углов ( OM и ON, рис.9) являются продолжениями одна другой. Биссектрисы смежных углов ( OM и ON, рис.10 ) взаимно перпендикулярны.

Свойство биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы угла находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.

Угловая мера

Угол измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L, в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2 радианам = 360° = 400 градам.

В системе СИ принято использовать радианы.

В морской терминологии углы обозначаются румбами.

Углы на тригонометрической окружности

В математике в качестве начала отсчёта углов принято направление оси абсцисс (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления направо), и отсчитывается против часовой стрелки.

В географии в качестве начала отсчёта углов принято направление оси ординат (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления север (вперёд)), и отсчитывается по часовой стрелке.

Типы углов
Смежные углы — острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Два вертикальных угла равны.

Центральные и вписанные углы окружности.

В зависимости от величины углы разделяются на:

1. Острые (от 0 до 90°)
2. Прямые (90°)
3. Тупые (от 90° до 180°)
4. Развернутые (180°)
5. Невыпуклые (от 180° до 360°)
6. Полные (360°)

'Вариации и обобщения':

Величиной ориентированного угла между прямыми AB и CD (обозначение: (AB,CD)) называют величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB так, чтобы она стала параллельна прямой CD. При этом углы, отличающиеся на , считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD и AB не равен ориентированному углу между прямыми AB и CD (они составляют в сумме 180° или, что по нашему соглашению то же самое, 0°). Ориентированные углы обладает следующими свойствами:

а) (AB,BC)=-(BC,AB);

б) (AB,CD)+(CD,EF)=(AB,EF);

в) точки A,B,C,D, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда (AB,BC)=(AD,DC).

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла: в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы, рассматривают углы, большие 360°, углы, равные 0°, и т. д. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается также на различные объекты, рассматриваемые в стереометрии (двугранный угол, многогранный угол, телесный угол).

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Примеры решения задач :

Интересный факт: (произносится «пи») — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи».

Впервые обозначением этого числа греческой буквой воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.
Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

История числа шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.

Число «пи» интересно тем что имеет бесконечное число знаков после запятой.

Первые 1000 знаков после запятой числа :

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

Вопросы:

1. Что такое угол?
2. Какие бывают типы углов?
3. Чему равно 2 в градусах?

Список использованных источников:

1. Урок на тему "Угол как геометрическая величина" Автор: Вилофич А. Н.., г. Москва
2. Урок на тему  "Наглядная геометрия". 7-й класс. Автор: Самылина Марина Валентиновна, г. Киев
3. Павлов А. Н. Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях.
   
4. Гордин Р. К. Геометрия. Планиметрия. 7-9 классы.
   
5. Атанасян, Геометрия 7-9 класс.
   

Отредактировано и выслано Потурнаком С .А.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.