Приступим к изучению геометрии, как это делал Евклид, с понятий точки, прямой и плоскости. Назовем эти понятия основными. Затем сформулируем определения и аксиомы на основе этих понятий, а потом, используя весь уже имеющийся материал, будем доказывать теоремы. Это - обычный способ построения математической теории.
Например, вы начинаете изучение алгебры с основных понятий "числа" и "переменной", а все последующие определения даете на их основе: "два числовых множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же чисел". В этом определении используется основное понятие - "число".
Основных понятий в геометрии три - точка, прямая и плоскость. У точек нет ни длины, ни ширины. У прямой - нет ширины, но она имеет бесконечную протяженность в обе стороны. А плоскость бесконечна во всех направлениях. На рисунке мы изображаем только часть прямой или плоскости, но представлять их надо бесконечно продолжаемыми во все возможные стороны.
Примером плоскости можно считать поверхность конькобежного катка, футбольное поле, оконное стекло. Натянутая нить (бесконечная в обе стороны) - пример прямой. Примером точки может служить любой объект, размерами которого можно пренебречь: звезда на небе, город на географической карте.
Мы можем теперь использовать эти три основные понятия, чтобы дать основные определения. Пространство - это множество всех точек.
Геометрическая фигура это - любое множество точек, прямых и плоскостей. Точка, прямая и плоскость являются геометрическими фигурами. Множество точек называется коллинеарным, если существует прямая, содержащая все эти точки. Множество точек называется компланарным, если существует плоскость, содержащая все эти точки. Если точка A расположена на размеченной прямой, которая называется в этом случае "числовая прямая", то число, соответствующее этой точке, называется ее координатой. В дальнейшем, запись A(a) будет обозначать, что координата точки A число a. Расстояние между точками А(a) и В(b) на прямой - это модуль разности их координат, то есть AB=|(a-b)|.
Если точка A и точка B находятся на прямой, тогда отрезком будет называется множество всех точек прямой, лежащих между А и В. Концами отрезка, определенного точками А и В, называются сами эти точки. Длина отрезка, определенного точками A и B, есть расстояние между точкой A и точкой B. Два отрезка будут считаться равными, если при наложении они совпадают. Точка делит прямую на две полупрямые, каждая из которых называется лучом. Точка при этом называется начальной точкой луча. Итак, мы дали одиннадцать определений с помощью трех основных понятий (точка, прямая и плоскость). Позже, мы будем использовать основные понятия и определения, чтобы сформулировать аксиомы.
Поскольку каждая геометрическая фигура состоит из точек, можно говорить о точках, принадлежащих геометрической фигуре (то есть о точках, из которых она состоит) и не принадлежащих ей. Для обозначения точек будем использовать заглавные буквы латинского алфавита: A, B, ..., Z, а для обозначения прямой – строчные буквы: a, b, ..., z. Кроме того будем использовать обозначение (AB) для прямой, проходящей через две заданные точки A и B. Так, о точке A, принадлежащей прямой a, говорят, что точка A лежитна прямой a. Так же правильно будет, если скажут, что прямая a содержитточку A или прямая a проходит через точку A. А о точке B, не принадлежащей прямой a, говорят либо, что точка B не лежит на прямой a, либо, что прямая a не содержит точку B, либо, что прямая a не проходит через точку B. Для того чтобы говорить о той или иной геометрической фигуре, мы должны уметь отличать одну фигуру от другой. Это можно сделать, если, например, мы сможем описать такие ее свойства, которые присущи только данной фигуре и которыми не обладает более ни одна другая фигура.
Рисунок 1.1.1. Взаимное расположение точек и прямых
Часть свойств прямой, которые позволят определить ее таким образом, задаются с помощью следующих двух аксиом:
Аксиома 1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Аксиома 1.2. Через произвольные две точки можно провести прямую и притом только одну.
Описав частично свойства прямой, мы можем уже сделать некоторые заключения. Например, выберем две точки. По аксиоме 1.2 эти две точки задают единственную прямую a. Выберем теперь еще две точки так, чтобы хотя бы одна из них (пусть это будет точка A) не лежала на заданной прямой a. Это можно сделать по аксиоме 1.1. Вторая пара точек также определяет прямую. Обозначим ее b. Прямые a и b – разные прямые, потому, что прямая b содержит точку A, которая не принадлежит прямой a. Таким образом, исходя из данных свойств прямой, мы путем рассуждений смогли сделать вывод, что на плоскости существует не одна прямая. Значит, можно приступить к изучению, например, их взаимного расположения на плоскости. Общей точкой прямых a и b называется точка, лежащая на прямой a и одновременно на прямой b. Можно, например, представить две прямые, которые имеют ровно одну общую точку. Такие две прямые называются пересекающимися. Говорят, что две прямые не пересекаются, если они не имеют ни одной общей точки. Очевидно, что других случаев не может быть, так как, если бы две прямые имели две общие точки, то они бы совпадали, это следует из того, что по аксиоме 1.2 эти точки определяют одну прямую. Этот вывод можно сформулировать в виде утверждения: Следствие 1.1. Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.
Рисунок 1.1.2. Взаимное расположение прямых
Взаимное положение трех точек A, B, C, лежащих на одной прямой. На рис. 1.1.3 представлен чертеж прямой a и трех точек A, B и C, лежащих на ней. Чтобы определить взаимное расположение этих точек, говорят, что точка C лежит между точками A и B. Это же можно сказать иначе: либо точка C разделяет точки A и B, либо точки A и B лежат по разные стороны от точки C, либо – точки C и B (C и A) лежат по одну сторону от точки A(B).
Рисунок 1.1.3. Взаимное расположение точек на прямой
Свойство трех точек, лежащих на прямой, задается аксиомой: Аксиома 1.3. Из трех разных точек, которые лежат на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.
Интересный факт:
Человек - единственный представитель животного мира, способный рисовать прямые линии.
Также присутствует интересный способ перемножения двух чисел с помощью точек и прямых.
Вопросы:
1) Когда когда множество точек называется коллинеарным, а когда компланарным?
2)Если координатой точки А является число 2 -- А(2), а координатой точки В является число 9 -- В(9). Найти расстояние между точками А и В.
3) Что является общей точкой для двух прямых?
Список использованных источников:
Прямая в пространстве, справочник математических формул «Прикладная математика»
Прямая на плоскости, справочник математических формул «Прикладная математика»
Урок на тему "Точка и прямая" Автор: Кузнецов А. В., г. Киев
Урок на тему "Плоскость" Автор: Кузнецов <span />А. В., г. Киев
Отредактировано и выслано Потурнаком С .А.
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
