Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Дифференцирование показательной и логарифмической функций

 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ
1. Число е. Функция у = е^х, ее свойства, график, дифференцирование
Рассмотрим показательную функцию у=а^х, где а > 1. Для различных оснований а получаем различные графики (рис. 232—234), но можно заметить, что все они проходят через точку (0; 1), все они имеют горизонтальную асимптоту у =0 при , все они обращены выпуклостью вниз и, наконец, все они имеют касательные во всех своих точках. Проведем для примера касательную к графику функции у=2x в точке х = 0 (рис. 232). Если сделать точные построения и измерения, то можно убедиться в том, что эта касательная образует с осью х угол 35° (примерно).

Теперь проведем касательную к графику функции у=3^x тоже в точке х = 0 (рис. 233). Здесь угол между касательной и осью х будет больше — 48°. А для показательной функции у = 10^x в аналогичной
ситуации получаем угол 66,5° (рис. 234).
Итак, если основание а показательной функции у=ах постепенно увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х=0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°. Логично считать, что существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45°. Это основание должно быть заключено между числами 2 и 3, поскольку для функции у- 2х интересующий нас угол равен 35°, что меньше, чем 45°, а для функции у=3^x он равен 48°, что уже немного больше, чем 45°. Интересующее нас основание принято обозначать буквой е. Установлено, что число е — иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь:
e = 2,7182818284590...; 

на практике обычно полагают, что e=2,7.
Замечание (не очень серьезное). Ясно, что Л.Н. Толстой никакого отношения к  числу e не имеет, тем не менее в записи числа
е, обратите внимание, два раза подряд повторяется число 1828 — год рождения Л.Н. Толстого.

График функции у=е^х изображен на рис. 235. Это — экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков показательных функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке х=0 и осью абсцисс равен 45°.
Свойства функции у = е^х :
1)
2)    не является ни четной, ни нечетной;
3)    возрастает;
4)    не ограничена сверху, ограничена снизу;
5)    не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6)    непрерывна;
7) 
8)    выпукла вниз;
9)    дифференцируема.
Вернитесь к § 45, взгляните на имеющийся там перечень свойств показательной функции у=а^х при а > 1. Вы обнаружите те же свойства 1—8 (что вполне естественно), а девятое свойство, связанное с
дифференцируемостью функции, мы тогда не упомянули. Обсудим его теперь.
Выведем формулу для отыскания производной у-ех. При этом мы не будем пользоваться обычным алгоритмом, который выработали в § 32 и который не раз с успехом применяли. В этом алгоритме на заключительном этапе надо вычислить предел, а знания по теории пределов у нас с вами пока весьма и весьма ограниченные. Поэтому будем опираться на геометрические предпосылки, считая, в частности, сам факт существования касательной к графику показательной функции не подлежащим сомнению (поэтому мы так уверенно записали в приведенном выше перечне свойств девятое свойство — дифференцируемость функции у=е^х).

1.    Отметим, что для функции y = f(х), где f(х) =ех, значение производной в точке х =0 нам уже известно: f^/ = tg45°=1.
2.    Введем в рассмотрение функцию у=g(x), где g(х) -f(х-а), т.е. g(х)-ех'^а. На рис. 236 изображен график функции у = g(х): он получен из графика функции у - fх) сдвигом по оси х на |а| единиц масштаба. Касательная к графику функции у=g(х) в точке х-а параллельна касательной к графику функции у = f(х) в точке х -0 (см. рис. 236), значит, она образует с осью х угол 45°. Используя геометрический смысл производной, можем записать, что g(а) =tg45°;=1.
3.    Вернемся к функции у = f(х). Имеем:

4.    Мы установили, что для любого значения а справедливо соотношение . Вместо буквы а можно, естественно, использовать и букву х; тогда получим

Из этой формулы получается соответствующая формула интегрирования:

1ехах = ех +С.
                    \                            1 1               
                    1        Г                    х—а у-е -               
                    у-е                                           
                                            1                   
                            /                            /       
                /        /                    1        /           
                    /                            /               
                                                               
        1                                                        г
1        Л    45'                1    я*    Ж    45'                       
        0                        /    а                            X
                                                               
Рис. 236
287
.Пример 1. Провести касательную к графику функции у = е" в точке х = 1. Решение. Напомним, что уравнение касательной к графику функции у = 1(х)в точке х = а имеет вид
у = Ка)+ГШх-а).    (1)
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной к графику функции (см. § 34), учитывая, что в данном примере /(х) = е'.
1)    а = 1.
2)Да)=Д1)=е.
3 )Г'(х)=е*; /'(«)=/'(!)=«•
4) Подставим найденные три числа: а = 1, /(а) = е, /'(а )= ев формулу (1). Получим:
у = е + е(х-1), у = ех.
Ответ: у = ех.
            У                   
        к    к            I I       
    е*        -    -|у        —    в   
                               
                               
                               
                //               
                               
                               
            //                   
        0    1    2                X
                               
Рис. 237
2
Имеем: 5 =^е'Ах = е
Пример 2. Вычислить значение производной функции у = е4"'12 в точке х = 3.
Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования функции у = ?(кх + т), согласно которому у'=к- /'(кх + т\ и тем, что(ех)'=ех. Получим:
Далее имеем:
у\3)=4 е12-12=4 е°=4.
Ответ: 4.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 0, х = 0, х = 2, у = ех.
Решение. Речь идет о вычислении площади криволинейной трапеции, изображенной на рис. 237.
2 = е2 - = е2 -1.
- + -    -4        -4--- +   
-V        --0 I        ' X
Ответ: 5 = е? -1.
Пример 4. Исследовать на экстремум и схематически изобразить график функции у = х2 ех. Решение. Имеем:
у'=(х2ех)'=(х2)'ех + х2(ех)'=
= гхе* + х V = хех(х + 2).
Эта производная существует при всех значениях х, значит, критических точек у функции нет. Производная обращается в нуль в точках х = 0их = -2 — это две стационарные точки. Отметим их на числовой прямой. Знаки производной на полученных промежутках меняются так, как показано на рис. 238. Значит, х = -2 — точка максимума функции, причем
Рис. 238
                        V            1 I 1           
                    к    1            1 I 1           
                                1               
                ~е                               
                                               
                                               
                            1                   
                А            /                   
                    0    А                       
    -2-                                            X
                                               
    |                                           
Рис. 239
2)=(-2)2е-2=-=0,5; е
х =0 —точка минимума, причем
Уы„=У(0)=02е°=0.
288
Используя полученные точки экстремума, схематически изобразим график функции (рис. 239). Ось абсцисс — горизонтальная асимптота графика (при х—»-»о).    _
2. Натуральные логарифмы.
Функция у = 1п х, ее свойства, график, дифференцирование
Мы рассматривали логарифмы с различными основаниями: 1о§2 3 — логарифм по основанию 2, 1о§5 7 — логарифм по основанию 5, 2 — логарифм по основанию 10 (десятичный логарифм) и т.д. Если основанием логарифма служит число е, то говорят, что задан натуральный логарифм.
Примеры натуральных логарифмов: 1о§е 2, 1о§е 5, 105,, 0,2 и т.д.
Подобно тому как для десятичных логарифмов введено специальное обозначение введено специальное обозначение для натуральных логарифмов 1п (I — логарифм, п — натуральный). Вместо 1о§е 2 пишут 1п 2, вместо 1о§е 5 пишут 1п 5 и т.д.
Используя известные соотношения для логарифмов (см. § 48, 50, 53), запишем ряд соотношений для натуральных логарифмов: 1п 1 =0; 1пе = 1;
1пег =г; е1"1 =х; 1о§0х=-.
1па
Мы знаем, что график логарифмической функции у=1о§0 х симметричен графику показательной функции у=а* относительно прямой у =х. Значит, и график функции у = 1п х симметричен графику функции у=е * относительно прямой у=х (рис. 240). Это — экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков логарифмических функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке х = 1 и осью абсцисс равен 45°.
Свойства функции у =1пх:
1)А/)=(0,    +оо);
2)    не является ни четной, ни нечетной;
3)    возрастает на (0, +
4)    не ограничена ни сверху, ни снизу;
5)    не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6)    непрерывна;
7)    Д(/)=(-«>, +<=);
8)    выпукла вверх;
9)    дифференцируема.
            У                                   
            к                                   
                            г*                   
                                /        У    = X   
                            /                   
                        >        /               
                    /        <        /           
                г/ г        ✓        / (            |Пу   
        1            Г        /                   
                                               
    /        г                                   
/        /    0    /I                                X
            ✓                                   
        >                                       
                                               
Рис. 240
289
Вернемся к § 49: взгляните на имеющийся там перечень свойств логарифмической функции у=1о&0 х, при а > 1. Вы обнаружите те же свойства, кроме девятого, — его мы тогда не упомянули.
Выведем формулу для отыскания производной функции у = 1п х. При этом, как и в случае показательной функции, не будем пользоваться обычным алгоритмом отыскания производной (по тем же причинам — наши недостаточные знания в теории пределов), а будем использовать геометрические соображения.
Возьмем на графике функции 1/=1пх точку М(а, 1п а), проведем касательную к графику функции в этой точке. Касательная составляет с осью абсцисс угол а (рис. 241). Найдем на графике функции у=ех точку Р, симметричную точке М относительно прямой у =х; это будет точка Р(1па; а). Проведем касательную к графику показательной функции в этой точке, которая составит с осью абсцисс угол р. Точно такой же угол р составляет первая из двух проведенных касательных с осью ординат, но тогда получаем, чтоа + Р = 90°(рис. 241).
Для функции у = Цх), где Цх) =1п х, имеем: Г (а) = 1ёа = 1§(90°-р) = с1ёр =
С другой стороны, для функции у=§ (х), где ё(х) =ех, имеем:
/(1па)=1ёр.
Но §'(х) =(ех)' =ех; в частности, |г'(1па) =е1по =а.
Итак, 1§Р=а, значит, /'(а) =    Проведя аналогичные рас-
1ёР а
суждения для любой точки х, а не только для точки х =а, как было сделано выше, получим, что
Г (*)=-.    •
X
Таким образом, мы установили, что для любого значения х > О справедлива формула дифференцирования
(1п *)'=!. х
                        у            1                   
                    )    к                    X           
                                                        X
                                                У       
                            —■'            111    и           
                                            /           
                                                       
                                    <        М        1п    а)
                    1            ✓                       
                        л                               
-                                                       
                    г    0    /\                    ЯГ        X
                г            11                           
                            р 1                           
                        Т 1 1                               
Рис. 241
290
Из этой формулы получается соответствующая формула интегрирования, справедливая при условии х >0:
x
Заметим, что если условие х > 0 не выполняется, то используют более общую формулу
[^ = 1п|х|+С. * х
Пример 5. Вычислить значение производной функции у = 1п(3х + 5) в точке х = -1.
Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования функции
у = {(кх + т), согласно которому у'=к- /'(кх + т.), и тем, что(1п *)'=—. Полу-
х
чим:
г/'=(1п(3* + 5))'=3 —Ц = —.
Зх + 5 Зх + 5
з
Далее имеем: у'(-1)=-= 1,5.
м    3(-1)+ 5
Ответ: 1,5.
Пример 6. Провести касательную к графику функции у = 1п х в точке х = е.
Решение. Напомним еще раз, как и в примере 1, что уравнение касательной к графику функции у = Д х) в точке х = а имеет вид: у = Г(а)+Па)(х-а). (1) Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной к графику функции (см. § 34), учитывая, что в данном примере /(х)=1пх.
1)    а=е;
2)    /(а)=/(е)=1пе = 1;
3)/'(*)    = -; Г(а)=Г(е)=-;
х    е
4)    Подставим найденные три числа: а=е, /(а) = 1, {'(а)=- в формулу (1). Полу-
            у                        1 1 1           
        Л    1                        1 1 1           
                                        7=*       
        •1                                       
                                               
                                1               
        "п                1        е                X
                /1                               
                р 1 = 1ги 1                               
                                               
Рис. 242
х
У = ~-е
            У    I I                               
                " _1                               
                                               
                                               
        1                        1               
                                1               
                                               
        0                -2-|            е            X
                                               
                                               
чим: г/ = 1 н—(х-с,, „ .
е    е    Рис. 243
На рис. 242 изображен график функции у =
х
1п х, построена прямая у = —, проходящая через начало координат. Чертеж
е
подтверждает полученный результат: построенная прямая касается графика функции у = 1п х в точке (е ; 1).
Ответ-. I/=—.
е
291
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми у = О,
х = 1, х = е и гиперболой у = —.
х
Решение. Речь идет о вычислении площади криволинейной трапеции, изображенной на рис. 243. Имеем: Ых
= 1пе-1п1 =1-0=1.
8=\™=Ых 1 *
Ответ: 5 = 1.
Пример 8. Исследовать на экстремум функцию у = .
х
Решение. Имеем:
(ЫхУх-ШхСх)'^ х х ^пх^_1-1пх ?    " х2    х2 •
Эта производная существует при всех значениях х > 0, т.е. при всех значениях х из области определения функции. Значит, критических точек у функции нет. Приравняв производную нулю, получим: 1-1пх=0, 1пх = 1, х = е.
Это единственная стационарная точка. Если х < е, то у'> 0; если х > е, то у'<0. Значит, х = е — точка максимума функции, причем
, 1пе 1 */ш«=г/(«)=—=-• е е
Ответ: х = е — точка максимума; ут„ = —.
е
Завершая параграф, получим формулы дифференцирования любой показательной и любой логарифмической функций.
Пусть дана показательная функция у=ах. Воспользуемся тем, чтоа =е'"а и, следовательно,а1 =ех[па. Тогда:
(а*)'=(е11по)'=1пае1,по =1па-а*.
Итак,
(а')'=а' 1па.
Например, (2х)' =2* 1п2; (5*)' = 5* 1п5и т.д.
Пусть теперь дана логарифмическая функция у =1о§0 х. Имеем:
1пдс
. 1 па
Итак,
1 „ 11 1
у=(1оёах)'= -— =---(1пж)' =----=
1 па    1 па х х1па
(1ое. •
х\па
292

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.