|
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Свойства логарифмов
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
B предыдущих параграфах мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию, изучили свойства функции у=logax, построили ее график. Но, чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем, два свойства доказательства не требуют, они представляют собой запись на математическом языке определения логарифма как показателя степени, мы ими уже пользовались:
Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:
Например,
Доказательство. Введем следующие обозначения:  . Нам надо доказать, что выполняется равенство х = у+z.
Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней: у+г = х, что и требовалось доказать. •
Приведем краткую запись доказательства теоремы.
270
Подготовка к доказательству (введение новых переменных) Перевод на более простой язык Доказательство
1 оёаЬс-х а'=Ьс а" =а"а'
1о ёаЬ = У а" =Ь а'= а"*'
1оей с = г а'=с х = у+г
Доказать: х = у + г
Замечания: 1. Математики считают, что теорему 1 можно не доказывать. Ведь что такое логарифм, спрашивают они. И отвечают: логарифм — это показатель степени. А что делается с показателями степеней при умножении? Они складываются. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов. Вот в чем состоит содержательный смысл теоремы 1.
2. Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.
Например, 1ое6 2 + 1ое6 3 + 1ое6 7 = 1ое6(2 ■ 3 ■ 7)=1ое6 42.
3. Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию «если.. .то» (как принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а,Ьис — положительные числа, причем а ф 1, то справедливо равенство 1о§, Ьс = 1 Ь + \о%а с. Следующую теорему мы именно так и оформим.
Теорема 2. Если а,Ъ,с — положительные числа, причем аФ 1, то справедливо равенство:
108.-=108. Ь-1о§а с. с
Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.
Например,
1ое12^=1о81
г Ь ^
=1оёх 5-108! 2 =1оё! 5+1;
15
1ё15-1ё3 = 1ё—= 1ё5.
3
Доказательство. Мы приведем краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1, а также дать содержательное истолкование теоремы 2 подобно тому, как это сделано в замечании 1.
271
Подготовка к доказательству (введение новых переменных) Перевод на более простой язык Доказательство
1 Ь с ах=-с а' =а':а' \
1о ёаЪ = у а"=Ь а'=ау~'
1о 8ас = г а'=с х=у-г !
Доказать: х = у-г
Теорема 3. Если а,Ь — положительные числа, причем аФ 1, то для любого числа г справедливо равенство:
1о8я Ьт =г1ое„ Ь.
Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
Например,
1ое,25=1ое, 52 =21ое, 5;
2 2 2
18- = 18б-1 =-185;
5
31ое25=1ое2 53 =1ое2125.
Доказательство. Приведем краткую запись доказательства, а вы, как и при доказательстве теоремы 2, попробуйте сделать соответствующие комментарии по аналогии с теоремой 1 и замечанием 1.
Подготовка к доказательству Перевод на более Доказательство !
(введение новых переменных) простои язык
1оеаЬг=х а" =ЬГ а" =(а"У
1о ёаЬ = у ау =Ъ а'^а™ \
Доказать: ж=гу х = гу !
Пример 1. Известно, что положительные числа х,у, г,1 связаны соотно-уг3
шением Выразить 1оё„ х через логарифмы по основанию а чисел
У, г, I. «.
Решение. 1) Логарифм дроби равен разности логарифмов числителя
г/г3
и знаменателя. Значит, 1оё„ ~3г=~ = \о&а(уг3)- 1о(»в 41.
272
2) Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. Зна-чит, 1оёа (Уг3) = 1ое„ у + 1оёа г3.
3) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени. Значит,
1 I
\оёаг3=31оеаг; 1ое„^ = 1ое„*3 =- 1ов.«.
4) В итоге получаем:
\оёа х = \оёа(уг3)-\ова V* = 1ое„ У + 1ое„ г3 ~ 1ое„ * =
3
= \о&ау + г\о%„г-\\о&аг.
о
При наличии определенного опыта решение примера можно не разбивать на последовательные этапы, а оформить его так:
иг3 1
\оеах=\оеамщ-=1оеау+1ое<1г3 -1ое„*3 =
=1оевг/+31ое„г-^1ое0(. <н]
о
Еще раз подчеркнем, что все свойства логарифмов мы получили при условии, что переменные принимают положительные значения. А как быть, если про знак переменной ничего не известно? Можно ли, например, написать, что 1&х2 =21§х, если о знаке числа * ничего не известно? Отвечаем: нельзя, поскольку при х <0 левая часть равенства определена, а правая не определена. Как же быть в таком случае? Нас выручит знак модуля. Поскольку ас2 = |дс| и |ж| >0 при * то верное равенство выглядит так: \%х2 =21&|х\. Это частный случай общей формулы ^ # -
1о8я *2п =2»1ов.Ы (пег).
Помните и о том, что заменять выражение 1оёаЬс выражением 1о§а Ь+1о&а смы имеем право лишь в случае, когдаб >0 ис >0. Если мы в этом не уверены, но знаем, что Ьс >0, то, поскольку в этом случае выполняется равенство Ьс = | Ь | • |с |, следует использовать формулу 1о8вЬс=1о8в|Ь|+1о8в|с|.
Если некоторое выражение А составлено из положительных чисел х,у,гс помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить 1о§а А через логарифмы чисел х, у, г. Такое преобразование называют логарифмированием (см. пример 1). Ценность операции логарифмирования состоит в том, что она позволяет сводить вычисления 8 операциям более низкого порядка: произведение, частное, степень заменяются соответственно на сумму, разность, произведение.
10 Мордкович «Алгебра, 10 кл.»
273
Иногда приходится решать обратную задачу: находить выражение, логарифм которого представлен через логарифмы некоторых чисел. Такое преобразование называют потенцированием. При этом используется следующее утверждение:
Теорема 4. Равенство 1ое„ * = 1ое„ в, где а>0, а * 1,4 > О, в > О, справедливо тогда и только тогда, когда 1=8.
Это достаточно очевидное следствие монотонности логарифмической функции.
Пример 2. Известно, что * = 218 у -18 г + 0,518*- Выразить * через у, г, г.
Решение. Имеем последовательно:
2189 = 18 0*; 0,518* = 18'0,6 =18 V*;
218 У -18 г + 0,518 (= 18 У2 +18 ^ -18 г = ^^ •
г
2 П 2. Г2
Итак, = -и, следовательно, х = 18--. <И
г г
Пример 3. Известно, что 1о&3 2 = а. Вычислить 1о&36,75.
Решение. Выразим число 6,75 через числа 3 и 2 (3 — основание логарифма, 2 — заданное в условии логарифмируемое число) с помощью операций умножения, деления и возведения в степень:
„„г 3 27 З3 6,75=6- = — = -г.
4 4 2й
Далее находим:
1ое36,75 = 1оег
Ззл
= 1ое333 -1ое322=3-21ое32=3-2а.
г2
V
Ответ: 1о&3 6,75=3 -2а.
Пример 4. Вычислить 491-0,251(417 25 . Решение. Поработаем с показателем степени:
1 -0,251ое7 25 = 1ое7 7 - 1ое7 254 = 1ое7 7 - 1ое7 =
у
=1ое7 7 - 1ое7 -Л=1ое7 Теперь заданное числовое выражение мы можем записать в виде 49
Далее находим
49"*4 ^т* =7ЧЙ = 7'°"Т.
1 ь ®7 49
Остается вспомнить, что а —Ь. Значит, 7 5 =—=9,8.
5
Ответ: 9$.
Пример 5. Положительное число а записано в стандартном виде: а = а0 ■ 10", где 1 <а0 < 10 и п — целое число. Найти десятичный логарифм числа а.
274
Решение. 18а=18(а010,')=18а0 +1810* =1еа0 +п.
Таким образом, 1еа =п + 1е а0.
Проанализируем полученный результат. По условию 1<о0 < 10, значит, в силу возрастания функции у = имеем: 1§1<1§а0 <1§10, т.е. 0<1ё«0
Таким образом, нам удалось представить а в виде суммы целого числа п и числа 1§о0, заключенного в промежутке [0, 1). Это значит, что п — целая часть числа а, а1§а0 — дробная часть числа о.
Обычно целую часть числа а называют характеристикой десятичного логарифма числа а, а дробную часть числа 1% а называют мантиссой десятичного логарифма числа а.
Математики, как вы знаете, ничего просто так не делают; если уж они выделили десятичные логарифмы, ввели термины «характеристика» и «мантисса», значит, с определенной целью. С какой? Для ответа на этот вопрос рассмотрим пример: вычислить 70, 16 700,700 000,0,007, если известно, что 1§7 =0,8451.
Имеем:
1§70 = 1§(7-10) = 1§7+ 1§10 =0,8451+1 = Ш51;
1§700 = 1§(7 • 102) = 1§7+102 = 0,8451+2 = 2,8451;
700 000 = 1^(7 • 105) = 1§7+105 = 0,8451+5=5,8451;
1§0,007 = 1§(7 • 10"3) = 1§7+^Ю"3 =0,8451-3=-2,1549.
Таким образом, возвращаясь к решению примера 5, достаточно составить таблицу десятичных логарифмов чисел, заключенных в промежутке [1,10), чтобы с ее помощью и с помощью стандартного вида положительного числа вычислять десяфганые логарифмы любых положительных чисел.
Завершая этот параграф, рассмотрим занимательный пример, где используются десятичные логарифмы.
Пример 6. Сколько цифр содержит число 7100 ?
Решение. Часто начинают решать эту задачу « в лоб»: возводят число 7 постепенно в 1, 2,3-ю и т.д. степень и пытаются увидеть закономерность. Имеем:
Т = 7 (одна цифра), 7* - 49 (две цифры), 7' = 343 (три цифры), 74 =2401 (четыре цифры), Т = 16 807 (пять цифр), 7* = 117 649 (шесть цифр). Возникает естественная гипотеза: каков показатель степени, столько цифр в результате. Но эта гипотеза рушится уже на следующем шаге: 77 = 823 543 — в этом числе не 7, а 6 цифр. Так что метод перебора и угадывания здесь не срабатывает.
Поступим по-другому: вычислим десятичный логарифм числа 7100. Имеем: 1е7100 =100 1^7 = 100 03451 =84,51.
Видим, что характеристика логарифма равна 84. Значит, порядок числа 7100 равен 84, а потому в числе 7100 85 цифр.
Ответ: 85 цифр.
275
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать
Содержание урока
 конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|
