Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика: Функция у = log_aх, ее свойства и график

ФУНКЦИЯ у=log_ах, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК

В § 48 мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого положительного числа можно найти логарифм по заданному основанию. Но тогда следует подумать и о функции вида , о ее графике и свойствах. Этим и займемся в настоящем параграфе.
Рассмотрим одновременно две функции: показательную у=а^х и логарифмическую у =log_aх. Пусть точка (Ь; с) принадлежит графику функции у=ах; это значит, что справедливо равенство с=а^b. Перепишем это равенство «на языке логарифмов»: Ь = log_а с. Последнее равенство означает, что точка (с; Ь) принадлежит графику функции у=log_aх.
Итак, если точка (Ъ; с) принадлежит графику функции у=а^х, то точка (с;Ь) принадлежит графику функции у =log_aх.
В § 40 мы доказали теорему о том, что точки координатной плоскости хОу с координатами (Ь; с) и (с; Ь) симметричны относительно прямой у = х (рис. 215). Таким образом, справедливо следующее утверждение:
График функции у = log_а х симметричен графику функции у =а^х относительно прямой у -х.

На рис. 216 схематически изображены графики функций у=а^х и у=log_ах  случае, когда а >1; на рис. 217 схематически изображены графики функций у—ах и у=log_аx в случае, когда 0 <а <1.

График функции у=log_aх называют логарифмической кривой, хотя на самом деле нового названия можно было не придумывать. Ведь это та же экспонента, что служит графиком показательной функции, только по-другому расположенная в координатной плоскости.
Если значение основания а указано, то график логарифмической функции можно построить по точкам. Пусть, например, нужно построить график функции у=log_aх. Составляя таблицу контрольных точек, будем руководствоваться соотношением (см. § 48). Поэтому в таблицу в качестве значений аргумента х мы включим числа, являющиеся степенями числа 2.
Имеем:

Построив на координатной плоскости точки

проводим через них логарифмическую кривую (рис. 218).

Свойства функции
Необходимую информацию извлекаем из геометрической модели, представленной на рис. 216.
1)
2)    не является ни четной, ни нечетной',
3)    возрастает на
4)    не ограничена сверху, не ограничена снизу;
5)    не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6)    непрерывна;

    Рис. 218
    1                        1 1 1               
                            1 1 1               
                        у-юд                2х   
- 2 - 1 |                                           
                                           
        0                                   
- -1 --2 1            <        4                С '        X
            1                               
            1                               
265
7)Д/)=(-оо,+оо);
8)    выпукла вверх.
Сравните график функции у = 1оёах, изображенный на рис. 216, и график функции у = яг(0 < г < 1), изображенный на рис. 187 (в § 44). Не правда ли, они похожи (при х > о)? На самом деле между ними есть принципиальная разница: график функции у = х' «набирает обороты» быстрее. Иными словами, для достаточно больших значений х ордината графика степенной функции у = хг (при 0 < г < 1 и уж тем более при г 1) значительно больше соответствующей ординаты графика логарифмической функции с любым основанием, большим, чем 1. В курсе математического анализа доказано, что при о >1 и г> 0 выполняется равенство
д-г
Свойства функции у = 1о§а х, О < а < 1
Необходимую информацию извлекаем из геометрической модели, представленной на рис. 217.
1)ЩГ)=(0,+оо);
2)    не является ни четной, ни нечетной;
3)    убывает на (0,
4)    не ограничена сверху, не ограничена снизу;
5)    нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6)    непрерывна;
7)Д/)=(-оо,+оо);
8)    выпукла вниз.
Отметим, что ось у является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда о > 1, и в случае, когда О <а <1.
Прежде чем переходить к решению примеров, заметим, что логарифмическая функция, как и показательная, существенно отличается от всех функций, которые вы изучали в курсе алгебры 7—9-го классов. Поэтому есть смысл повторить сказанное в § 45: чтобы основательно изучить новый объект, надо рассмотреть его с разных сторон, в разных ситуациях, поэтому примеров будет много.
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функций на заданном промежутке:
а)г/ = 18х, *е[1,1000]; б)у = \ое1_х, хе[±27].
3    9
Решение, а) Функция у = \%х — непрерывная и возрастающая, поскольку основание этой логарифмической функции больше 1 (вы, конечно,
266
помните, что = 1о8ю Следовательно, своих наименьшего и наибольшего значений функция достигает на концах заданного отрезка [1,1000]. Имеем: Утт = 1§1=0;
Ути6 = 18Ю00=1о&10103=3.
б) Функция у = 1об1 х — непрерывная и убывающая, поскольку основа-
» 1 ние этой логарифмической функции, т.е. число—, меньше 1. Следователь-
3
но, своих наибольшего и наименьшего значений функция достигает на
1
концах заданного отрезка
9'27

Имеем: Уккиб = 1ое, - = 10^1 з у
^.='8x27 = 1^^ =-3.    <1
Пример 2. Решить уравнение и неравенства:
а)1ое6*=0; б) 1о&5 х>0; в)1о&6 х<0. Решение. График функции у=1о§6 х схематически изображен на рис. 216. Заданные уравнение и неравенства нетрудно решить, используя эту геометрическую модель.
а)    Уравнение 1о§5 х=0имеет один корень * = 1, поскольку график функции у = 1о&6 х пересекает ось х в единственной точке (1; 0).
б)    График функции у = 1о§6 х расположен выше оси х при * > 1. Значит, решение неравенства 1о&6 х > 0 имеет вид х >1. .
в)    График функции у = 1ое6 х расположен ниже оси х при 0 < х < 1. Значит, решение неравенства 1ое5 * < 0 имеет вид 0 < х < 1.
Ответ: а)х = 1; б)х>1; в)0<*<1.
Пример 3. Решить уравнение и неравенства: * а) 1о§2 х = 0; б) \о%2 х > 0; в) 1о&2 х<0.
5    5    5
Решение. График функции у- 1о&2х схематически изображен на
5
рис. 217. Заданные уравнение и неравенства нетрудно решить, используя эту геометрическую модель.
а)    Уравнение \о§2 х=0имеет один корень х~1, поскольку график фун-
5
кции у = 1о^2 х пересекает ось х в единственной точке (1; 0).
5
б)    График функции у - 1о§2 х расположен выше оси у при0<х<1. Зна-
5
чит, решение неравенства 1о%2 х>0имеет вид 0<х<1.
5
267
в) График функции у = \о%2 х расположен ниже оси х при х > 1. Значит,
5
решение неравенства 1о%2 х<0 имеет вид х > 1.
5
Ответ: а) * = 1; б)0сс<1; в)я>1.
Пример 4. Построить графики функций: а)у = 1ое2(х + 2)-3; б) у = 1ое2(-х);
в)у = -31о82|.
Решение. В этом примере нужно выполнить различные преобразования графика функции у = 1о&2 х (см. рис. 218).
а) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-2; -3) (пунктирные прямые * = -2 и у = -3 на рис. 219). «Привяжем» график функции у = 1об2 х к новой системе координат — это и будет требуемый график (рис. 219).
б)    Напомним, что график функции у = /(-*) симметричен графику функции у = /(*)относительно оси у. Учтя это, строим график функции у = 1о&г х, а затем, подвергнув его преобразованию симметрии относительно оси у, получаем график функции у = 1ое2(-х)(рис. 220).
в)    Построение графика функции
у = -31ое2 — осуществим в несколько шагов: 2
1)    Построим график функции у = 1о§2 х (пунктирная линия на рис. 221).
2)    Осуществим растяжение построенного графика от оси * с коэффициентом 3 и симметрию «растянутого» графика относительно оси х. Получим график функции у = -31ое2 х (тонкая линия на рис. 221).
3)    Осуществим сжатие построенного
графика к оси у с коэффициентом — (т.е.
2
растяжение графика от оси у с коэффициентом 2). Получим график функции
х
у = -31об2 — (жирная линия на рис. 221). <Я 2
Пример 5. Построить и прочитать график функции
12', если х <1; 10&! х, если х>\.
Решение. Построим график функции у = 2' и выделим его часть на луче (-<*>, 1] (выделенная часть пунктирной линии на рис. 222). Построим
268
    = .    7                                   
                                           
                                           
    2        0                            6    X
                                           
                            ■        -3       
                -г                           
                    1о            -2)           
        1 '                                   
        |        1            1 1               
Рис. 219
                                    II II               
|||| _у=1од2(-х)                                    II 1 1               
                                у=1одах _                   
                                                   
                                                   
                            0                       
                -1        V    /    1                    'х
                        \                           
                        1    1                       
                                                   
Рис. 220
    1    ,У                                           
                                            эд    гХг   
                                    }               
        1                    —                       
                *                                   
                                                   
    <5    1-                                            X
        /    \                                       
        1    \                                        -
        1                        у=-31од2у                   
        1                                           
                                                   
                                                   
            У=        ;1о    Яг                           
                                                   
                                                   
Рис. 221
график функции у - х и выделим его часть
2
на открытом луче (1, +о°) (выделенная часть тонкой линии на рис. 222). Объединение двух выделенных на рис. 222 линий и представляет собой график заданной функции.
Прочтем график, т.е. укажем иллюстрируемые графиком свойства заданной функции.
1)    Х>(/)= (—, + «).
2)    Не является ни четной, ни нечетной.
3)    Возрастает на луче (-», 1], убывает на открытом луче (1, +о°).
4)    Не ограничена снизу, ограничена сверху.
5)    у,^ = 2 (достигается в точке х=1), наименьшего значения у функции нет.
6)    Функция претерпевает разрыв в точке * = 1; в остальных точках она непрерывна.
7)Д/)    = (-~,0)Щ0,2].
8)    Выпукла вниз на промежутках (-«о, 1] и(1,+
Заметим, что прямая у = 0 (ось х) является горизонтальной асимптотой графика функции при х-* Это значит, что Нт /(х)=0.    <Д
Пример 6. Решить уравнение 1§х = 11 - х.
Решение. Достаточно очевидно, что х = 10 — корень уравнения. В самом деле 1^10 = 1и11-10 = 1,т.е. при * = 10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1 = 1.
Так как функция у =1& х возрастает, а функция у = 11-х убывает, то заданное уравнение имеет только один корень, который уже найден путем подбора: * = 10.    <Я
Завершая разговор о логарифмических функциях и их графиках, рассмотрим более сложный пример, где речь идет о построении графиков нескольких так называемых «экзотических» функций.
Пример 7. Построить графики функций:
а)у=1оёхх; б)у = 21о"х; в)у = х^'9.
Решение, а) Мы знаем, что * = 1, но при этом следует учесть, что х — основание логарифма, а потому * >0 и * . Значит, речь идет о построении графика функции у = 1, область определения которой задается условиями: * > 0, хф1. График функции изображен на рис. 223.
б) Мы знаем, что 2>0= х, но при этом следует учесть, что * — логарифмируемое число, а потому х >0. Значит, речь идет о построении графика функции у — х, область определения которой задается условием * >0. График функции изображен на рис. 224.
            1                1 1           
                        1               
                        1               
                        г               
                                       
            2    1    /                   
                >                       
л    г"        к*    п                       
            6                            X
                                       
                    у=1од,х_ 1112 1                   
                                       
Рис. 222
                |У                           
                                           
                                           
            1                               
                                           
                                           
            0        ,1                        X
                    I                       
        |У                    *   
                        /       
                    /           
                /               
            /                   
        /                       
    о'                           
                               
Рис. 223
Рис. 224
Рис. 225
269
в) Мы знаем, что =2, но при этом следует учесть, что х — основание логарифма, а потому * >0 и х Значит, речь идет о построении графика функции у = 2, область определения которой задается условиями: х >0, хф\. График функции изображен на рис. 225.    <Д

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.